Пример выполнения работы
Контрольное задание
Исследовать напряженное состояние плотины треугольного профиля, которая испытывает плоскую деформацию в поперечном направлении под действием гидростатического давления на вертикальную грань (рис. 1) и объёмной нагрузки от собственного веса, при следующих исходных данных:
Шифр – 96036
Высота плотины Н = 110 м
Угол при гребне плотины β = 42°
Объемный вес бетонной кладки γκ = 21 кН/м3
Объемный вес воды γβ = 10 кН/м3
Исследование напряженного состояния плотины
1. Отыскание компонентов напряженного состояния
в произвольной точке плотины.
В первом приближении задаёмся функцией напряжений в виде следующего полинома
φ(х, у) = , (1)
где a, b, c, d – неизвестные постоянные коэффициенты.
Получаем выражения напряжений
(2)
Постоянные a, b, c, dопределяем из граничных условий
(3)
на вертикальной и наклонной гранях (рис. 2,а).
На вертикальной грани
x = 0, ℓ = cos(ν,x) = cos1800 = –1, m = cos(ν,y) = cos900 = 0,
pν,x = γвy, pν,y = 0, σx = dy, σy = by, τxy = –cy
условия (3) принимают вид
(3)
Отсюда d = –γв, c = 0 и выражения напряжений (2) можно записать следующим образом
(2*)
На наклонной грани
x = y∙tgβ, ℓ = cos(ν,x) = cosβ, m = cos(900 + β) = –sinβ,
pν,x = pν,y = 0, σx = –γвy, σy = ay∙tgβ + by
τxy = –by∙tgβ – γкy∙tgβ,
поэтому условие (3) приводится к следующей системе уравнений
0 = –γвy∙cosβ – by∙tgβ(– sin β) –γкy∙tgβ(– sin β)
0 = –by∙tgβ∙cosβ – γкy∙tgβ∙cosβ + (ay∙tgβ + by)(– sinβ)
или
–γвctg2β + b + γк = 0
atgβ + 2b + γк = 0
Решая систему получаем
b = γвctg2β – γк
a = –2γвctg3β + γкctgβ
С учетом найденных величин a, b, c, d приводим выражения (2*) к виду
(4)
Выполняем проверку выражений компонентов напряженного состояния.
Дифференцируем зависимости (4)
Подставляя полученные величины производных в уравнения равновесия
0 + 0 = 0
–γвctg2β +γвctg2β –γк +γк = 0
убеждаемся, что найденные выражения компонентов напряженного состояния в произвольной точке плотины, удовлетворяют этим уравнениям.
Дважды дифференцируем зависимости (4)
Подставляем вторые производные в уравнение совместности
2(σх + σу) =
= +++
Выражения названных компонентов удовлетворяют уравнению совместности деформаций в напряжениях.
В окрестности произвольной точки С на оси у при х = 0 выделяем малый прямоугольный элемент единичной толщины (рис. 26). Напряжения в этой точке
σх = –γву, σу = (γвctg2β – γк)y, τxy = 0
внешняя гидростатическая нагрузка
Ρνx = γву
Составляем уравнения равновесия выделенного элемента
ΣXί = 0, Ρνx1dy – σx1dy = 0, γву – γву = 0,
ΣYί = 0, σy1dx – σy1dx = 0,
из которых видно, что найденные напряжения удовлетворяют условиям на поверхности вертикальной грани.
Рассматриваем малый треугольный элемент в окрестности произвольной точки D наклонной грани плотины при x = y∙tgβ (pиc.2в).
Напряжения в указанной точке
σx= –γby
σy= –γвy∙ctg2β
τxy= –γвy∙ctgβ
внешняя нагрузка отсутствует.
Уравнения равновесия элемента
ΣXί = 0, σx1dy – τyx1dx = 0,
ΣYί = 0, τxy1dy – σy1dx = 0.
или
γвy∙dy–γвy∙ctgβ∙dx= 0,
γвy∙ctgβ∙dy–γвy∙ctg2β∙dx= 0,
или
1 – ctgβ= 0,
1 – ctgβ= 0,
т.к. =tgβ, то
1 – tgβ∙ctgβ= 0, 1 – 1 = 0,
1 – tgβ∙ctgβ= 0, 1 – 1 = 0
и, следовательно, найденные напряжения удовлетворяют условиям на поверхности наклонной грани.
Дальнейшая корректировка выражений (4) для компонентов напряженного состояния не требуется, поскольку они удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия, уравнению совместности деформаций и граничным условиям.