6. Абсолютная и условная сходимость

(1)

. (2)

Определение. Если ряд (2), составленный из модулей, сходится, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся.

Теорема. Если знакопеременный ряд (1) является абсолютно сходящимся, то он сходится (в обычном смысле).

Определение. Знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся, то есть если ряд (2), составленный из модулей его членов, расходится.

Условная сходимость ряда (1) связана в первую очередь не с тем, что его слагаемые быстро стремятся к нулю, а лишь с тем, что в частичных суммах слагаемые разных знаков в значительной мере взаимно погашают друг друга.

Теорема.Если ряд сходится условно, то за счет изменения порядка следования членов, можно обеспечить как сходимость ряда к любому наперед заданному значению суммы, так и расходимость ряда(cм., например, [3] ).

7. Область сходимости функционального ряда

Определение. Функциональным рядом называется выражение

. (1)

При фиксированном функциональному ряду (1) соответствует числовой ряд

. (2)

При одних значениях этот числовой ряд может сходиться, при других — расходиться.

Определение. Совокупность всех тех значений, при которых числовой ряд (2) сходится, называетсяобластью сходимости функционального ряда (1).

При определена функция— сумма числового ряда (2) в точке.

Теорема Абеля для степенных рядов

Определение. Степенным рядом в окрестности точки называется функциональный ряд вида

. (3)

Ряд (3) называют также рядом по степеням . Числаназываютсякоэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд (4) сходится в точке , то онабсолютно сходится при всех , удовлетворяющих условию, то есть при.

2. Если степенной ряд (4) расходится в точке , то он расходится при всех, удовлетворяющих условию.

8. Радиус сходимости степенного ряда

Определение. 1. Если областью сходимости степенного ряда

является конечный промежуток, то интервалом сходимости степенного ряда называется интервал такой, что в точкахряд сходится абсолютно, а в точкахряд расходится. Числоназывается при этомрадиусом сходимости степенного ряда.

2. Если областью сходимости является вся числовая ось , то полагают.

3. Если область сходимости состоит только из нулевой точки, то полагают .

В граничных точках интервала сходимости иряд может как сходиться, так и расходиться.

Определение интервала сходимости

Пусть радиус сходимости степенного рядаПоскольку приряд сходится абсолютно, рассмотрим ряд, составленный из модулей:

, (1)

и применим к нему признак Даламбера. Пусть существует предел .

1. Пусть сначала — конечное число; тогда при:

.

По признаку Даламбера положительный ряд (1) сходится, если , и расходится, если. Поэтому для радиуса сходимостистепенного рядасправедлива формула:

. (2)

2. Если , то неравенствовыполняется при всех, так что в этом случае.

3. Если , то ряд расходится при всех, и.

9. Почленное дифференцирование степенного ряда

Теорема. Пусть степенной ряд

имеет радиус сходимости , ипри— его сумма. Тогда функциядифференцируема в интервале, степенной ряд

,

составленный из производных членов исходного ряда, имеет тот же интервал сходимости, и его сумма равна :

. (1)