15. Принцип умножения

Принцип умножения(принцип произведения)задаёт правило для подсчёта количества различных наборов изэлементов в случае, когда последние выбираются, соответственно, по одному изконечных множеств. Благодаря этому принципу подсчёт количества вариантов во многих случаях приводит к большим числам.

1. Если для пары первый член может быть выбран изэлементов, а второй — изэлементов, то общее количество таких пар равно произведению.

2. Если для тройки первый элемент может быть выбран изэлементов, второй — изэлементов, а третий — изэлементов, то общее количество троек равно произведению.

3. В общем случае (доказывается по индукции), если строится набор из элементов, причем первый член может быть выбранспособами, второй —способами, и т.д., наконец, последний —способами, то общее количество-членных наборов равно произведению.

16. Перестановки

Определение.Перестановкой из элементовназывается их расположениев определённом порядке:.

Две перестановки считаются различными, если хотя бы один элемент занимает в них разные позиции.

Теорема. Для числа перестановок справедлива формула:

. (1)

17. Размещения.

Определение. Размещением из различных элементов поэлементовназываетсяупорядоченныйнабор каких-либоиз этих элементов.

Два размещения из посчитаются различными, если они различаются составом и/или порядком следования входящих в них элементов.

Теорема. Для числа размещений справедлива формула:

. (2)

18. Сочетания.

Определение. Сочетанием из различных элементов поэлементовназывается набор каких-либоиз этих элементовбез учёта порядка их следования.

Два сочетания из посчитаются различными, если они различаются составом входящих в них элементов.

Теорема. Для числа сочетаний справедлива формула:

. (3)

19. Классификация случайных событий

Определение:Случайным событием (или просто событием) называется заранее оговорённый исход испытания.

Определение. Случайное событие называетсядостоверным, если оно заведомо наступает при каждой реализации испытания.

Обозначение достоверного события: .

Определение. Случайное событие называетсяневозможным, если оно заведомо не может наступить ни при какой реализации испытания.

Определение.Событиевлечёт за собой событие, если всякий раз при наступлениинаступает и.

Операции над событиями

1. Сумма событий.

Определение. Событие называетсясуммой событий и , если оно заключатся в том, что в результате испытания наступает по крайней мере одно из событийили.

Обозначение: .

Определение.Событиеназываетсясуммой бесконечного числа событий:

,

если оно заключается в том, что в результате испытания наступает по крайней мере одно из событий .

2. Произведение событий.

Определение. Событие называетсяпроизведением событий и , если оно заключатся в том, что в результате испытания наступают оба событияи.

Обозначение: .

Определение. 1. Событияиназываютсянесовместными, если невозможно их совместное наступление при одном испытании, то есть если.

2.События, образующие конечную или бесконечную совокупность, называютсяпопарно несовместными, если любые два из них несовместны:при.

3. Противоположное событие.

Определение. Событие называетсяпротивоположным событию , если оно заключатся в том, что в результате испытания событие не наступает.

Обозначение: .

20. Свойства операций над событиями

1.Операции с участием достоверного и невозможного событий.

.

Для всякого события :

.

2.Операции с одним событием:

3.Алгебраические свойства:

Для любых двух событий иимеют место равенства:

Коммутативность (переместительный закон):

Ассоциативность (сочетательный закон):

Дистрибутивность (распределительный закон):

;

.

4.Связь сложения и умножения событий с переходом к противоположному событию выражаетсязаконом двойственности:

.

5.Если событиевлечёт за собой событие:, то,.

21. Относительная частота события

Определение.Пусть при проведениииспытаний событиенаступилораз.Относительной частотой событияв данной серии испытанийназывается отношение:

. (4)

Свойства относительной частоты

1. Относительная частота случайного события неотрицательна:.

2. Для достоверного события.

3. Для невозможного события.

4. Если события инесовместны,то.

22. Аксиоматическое введение вероятностей

Исходными объектами при аксиоматическом введении вероятностей являются случайные события, связанные с определённым испытанием. Основанием для введения аксиом в приводимом ниже виде являются соответствующие свойства относительной частоты.

Предполагается, что на совокупности случайных событийзадана числовая функция, выражающая вероятность событияи удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. —вероятность случайного события неотрицательна.

2. —вероятность достоверного события равна единице.

3. Для конечной или бесконечной совокупности попарно несовместныхсобытийсправедливо равенство:

—вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.