Моделирование - Лекция

Метод наименьших квадратов - пример

Необходимо определить параметры искомой зависимости (в данном случае a, b и α) таким образом, чтобы расчетная кривая лежала как можно ближе к экспериментальной кривой:

•Критерий близости: минимум суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями

•Условие минимума S:

равенство нулю производных по параметрам a, b и α

n S

i1

Sa

Sb

Sα

i

i

n

i

2

αX

2

Y

exp

Y

calc

Y

a be

i

i1

0

0

0

2015

Мат. моделирование ХТ

11

Эмпирические модели – бег на 200 м

Год	Время (М), с	Время (Ж), с
1900	22.2
1904	21.6
1908	22.6
1912	21.7
1920	22
1924	21.6
1928	21.8
1932	21.2
1936	20.7
1948	21.1	24.4
1952	20.7	23.7
1956	20.6	23.4
1960	20.5	24

Год	Время (М), с	Время (Ж), с
1964	20.3	23
1968	19.83	22.5
1972	20	22.4
1976	20.23	22.37
1980	20.19	22.03
1984	19.8	21.81
1988	19.75	21.34
1992	20.01	21.81
1996	19.32	22.12
2000	20.08	20.84
2004	19.79	22.05
2008	19.3	21.74
2012	19.32	21.88

25

2324•	Существует ли придельное время, такое, что ни один человек не
22	сможет пробежать данную дистанцию быстрее?
21	Будет ли рекордное время у женщин всегда больше, чем у мужчин?
•
20
19
1880		1900	1920	1940	1960	1980	2000	2020
2015				Мат. моделирование ХТ				12

Эмпирические модели – бег на 200 м

25
					y = -0.0405x + 102.57
24						R² = 0.7177
23
22
21
	y = -0.026x + 71.453
20		R² = 0.8972
19
1880	1900	1920	1940	1960	1980	2000	2020

•В 2724 году время, за которое чемпион олимпийских игр пробежит 200 м, будет равняться нулю.

•Примерно в 2050 году время мужчин и женщин сравняется.

Построенная модель не может использоваться на временах, сильно отличающихся от времен, использованных при её построении.

2015

Мат. моделирование ХТ

13

Эмпирические модели – бег на 200 м

Основное требование к искомой функциональной зависимости:

•При больших временах результаты бегунов должны стремиться к некоторому пределу сверху.

a,b,

y a be	x

•Зависимость нелинейная – нет стандартных формул – необходимо разработать соответствующий алгоритм.

2015

Мат. моделирование ХТ

14

Уравнения состояния – что это такое? Зачем?

Химические реакции и процессы очень часто протекают в газовой фазе,

втом числе промышленно важные

•Синтез соляной кислоты

•Окисление, хлорирование и нитрирование углеводородов

•Каталитический риформинг бензиновых фракций

•Каталитический крекинг вакуумного газойля

Уравнение состояния связывает удельный объем газа или газовой смеси с температурой и давлением.

v v(P,T)

Знание уравнения состояния (v) необходимо для:

•Расчета фазовых равновесий

•Определения размеров технологического оборудования (диаметр трубопровода, мощность компрессора и насоса, диаметра ректификационной колонны и химического реактора)

2015

Мат. моделирование ХТ

15

Идеальный газ

Модель, предполагающая, что:

•

•

Молекулы – материальные точки Нет взаимодействий

pV nRT

pv RT

v V n

Хорошо описывает состояние газов при невысоких давлениях (до 10 атм) и не слишком низких температурах.

2015

Мат. моделирование ХТ

16

Уравнения состояния реального газа

Многие химические процессы протекают при высоких давлениях, например, синтез аммиака осуществляется при давлении более 220 атм.

Во многих случаях оказывается, что уравнение состояния идеального газа слишком неточно и необходимо учитывать неидеальность газа или газовой смеси.

Моделирование большинства химикотехнологических процессов проводится с использованием уравнений состояния реального газа:

•Собственный объем молекул газа

•Взаимодействия между молекулами

Притяжения

между

молекулами

2015

Мат. моделирование ХТ

17

Уравнение Ван-дер-Ваальса (1873)

	p	RT		a
		v b		v	2

Учитывает взаимодействия между молекулами

Учитывает собственный размер молекулы – «исключенный объем»

2015

Мат. моделирование ХТ

18

Уравнение Рейндлиха-Квонга (1949)

	R T		2
		2
a 0.42748		c			α
		p
		c

	p	RT		a
		v b		v v b

	b 0.08664	RT
			c
			p
			c

α	1		1
	T		T T
				c
	r

Используется для расчета свойств паровой фазы, как чистых веществ, так и смесей парафиновых углеводородов. При использовании уравнения для смесей, состоящих из молекул различного строения, а также при описании жидкой фазы погрешность расчетов резко возрастает.

2015

Мат. моделирование ХТ

19

Уравнение Пенга-Робинсона (1976)

Уравнение состояния, учитывающее несимметричность молекул и играющее важную роль в моделировании парожидкостного равновесия (одновременно хорошо описывает и газ и жидкость).

p	RT		a
			v v b b v b
	v b

	R T				2
		2
a 0.45724				c			α
		p
				c
α 1 m 1							2
			T T
						c

b 0.07780		RTc
	pc
m 0.37464 1.54226ω 0.26992ω				2

2015

Мат. моделирование ХТ

20