Моделирование - Лекция

Уравнения состояния реальных газов

p			RT			a
		v b v2
p	RT					a
				v v b
	v b

	R T		2
		2
a 0.42188		c
		p
		c
	R T		2
		2
a 0.42748		c			α
		p
		c

	b 0.125	RT
				c
			p
				c
	b 0.08664			RT
					c
					p
					c

RT

a

R T

RT

p

2

2

v b

v v b

a 0.42748

c

α

b 0.08664

c

p

p

c

c

RT

a

2 2

RT

p

a 0.45724

R Tc

α

b 0.07780

c

v b

v b

v b

v

p

p

b

c

c

2015	Мат. моделирование ХТ

Z	с	0.375

α

1

1

T T c

Tr

Zс 0.333

α

m 1

2

T T

1

c

m 0.480 1.574ω0.176ω2

Zс 0.333

α 1 m 1 TT c 2 m 0.37464

1.54226ω

0.26992ω2 Zс 0.307

21

Полиноминальные уравнения третей степени

Уравнения состояния Ван-дер-Ваальса, Рейндлиха-Квонга, Соаве- Рейндлиха-Квонга, Пенга-Робинсона являются полиноминальными (нелинейными) уравнениями третей степени относительно объема (коэффициента сжимаемости)

Z	3
Z



Z	2
pv
RT

A B B2

A

αap

R2T2

	Z AB 0
	B	bp
		RT

Задача определения мольного объема при заданных температуре и давлении сводится к нахождению корней полиноминального (нелинейного) уравнения.

2015

Мат. моделирование ХТ

22

Примеры полиноминальной записи уравнений

Уравнение Ван-дер-Ваальса

v3 p v2 bp RT v a ab 0

Уравнение Рейндлиха-Квонга и Соаве-Рейндлиха-Квонга

v3 p v2 RT v a pb2 RTb ab 0

Уравнение Пенга-Робинсона

v3 p v2 bp RT v a 3pb2 2RTb pb3 RTb2 ab 0

2015

Мат. моделирование ХТ

23

Уравнения состояния для газовых смесей

Параметры a и b для чистых веществ можно определить, зная критическую температуру, критическое давление и, если нужно, ацентрический фактор.

•Таблицы критических параметров (p-v-T)

•Эмпирические зависимости (от давления насыщенных паров, от нормальной температуры кипения и т.д.)

В случае смеси, необходимо объединить значения параметров a и b для каждого из чистых веществ, в соответствии с их содержанием в смеси.

2015

Мат. моделирование ХТ

24

Общие правила смешения

Модель

Рейндлиха-Квонга

Соаве-РК

Пенга-Робинсона

2015

аi, bi

		R T			2
				2
a 0.42748				ci				α
i				p				i
				ci
b 0.08664		RT
				ci
i				p
				ci
		R T			2
				2
a 0.42748				ci				α
i				p				i
				ci
b 0.08664		RT
				ci
i				p
				ci
				2	2
ai	0.45724		R Tci					αi
				pci

aij aji					1 kij
		aiiajj
bi 0.07780				RTci
			pci

αi

α	1				1
i	Tri				T T ci

	1 mi 1		2
αi		T T ci

α		m	1					2
				T T
	1
i		i			ci

Мат. моделирование ХТ

a, b смеси

		N					2
a			y	i	a
					i
		i 1

byibi

i1N

		N					2
a			y	i	a
					i
		i 1

byibi

i1N

ayi yjaij

i, j 1N

byibi

i1N

25

Формулировка задачи

Имеется смесь газов заданного состава при данной температуре и давлении. Необходимо определить мольный объем смеси. В более общем случае, необходимо найти один из трех параметров (p-v-T), при заданных двух.

•Найти критическую температуру и давление для каждого из компонентов смеси.

•Для уравнений СРК или ПР, найти ацентрические факторы.

•Решить полиноминальное кубическое уравнение, которое является нелинейным уравнением с одной неизвестной.

Задача решается с помощью:

•Excel или Mathcad (с использованием различных алгоритмов)

•Aspen HYSYS – автоматическое определение мольного объема и других параметров газа или газовой смеси.

2015

Мат. моделирование ХТ

26

Нелинейные уравнения и их корни

Любое нелинейное уравнение может быть представлено в виде

f (x) 0

В частном случае полиноминального уравнения

f (x) a x	n	a	x	n 1	... a x a		0
						0
n		n 1			1

N корней уравнения могут быть:

•Действительными с кратностью, равной 1

•Действительные с кратностью больше 1

•Комплексно-сопряженные

•Любые комбинации перечисленных возможностей

2015

Мат. моделирование ХТ

27

Нелинейные уравнения и их корни – пример n = 4

2015

Мат. моделирование ХТ

28

Кратные корни

f (x) a x	n	a	x	n 1	... a x a		0
						0
n		n 1			1

• Пусть x0 – корень уравнения кратности k ≥ 2.

Для нахождения кратных корней часто используется соотношение.

f x		f x		... f	(k 1)	x		0
	0		0				0

Кратные корни не устойчивы относительно малых шевелений функции. При малых шевелениях кратный корень «распадается» на

•Пару комплексносопряженных корней

•Два различных (не кратных) действительных корня

2015

Мат. моделирование ХТ

29

Методы нахождения корней нелинейных уравнений

Алгоритмы основанные на итерационном процессе, который начинается в некоторой точке недалеко от значения корня и сходится к нему с требуемой точностью за конечное число шагов (итераций)

•Графический метод

•Метод бисекций

•Метод Ньютона-Рафсона

•Метод хорд

•Метод парабол

•Метод простой итерации

2015

Мат. моделирование ХТ

30