Моделирование - Лекция

Решение нелинейных уравнений в Excel

В Excel можно решить одно нелинейное уравнение с одной неизвестной.

•Локализация корня графическим методом

•Метод «Что если» / Подбор параметра (“Goal Seek”)

•Надстройка «Анализ данных» - метод «Поиск решения» (“Solver”)

2015

Мат. моделирование ХТ

41

Решение нелинейных уравнений в Mathcad

Локализация корня графическим методом

Уточнение корней с помощью функций:

•root (f(x), x, a, b), root (f(x), x)

•polyroots (v), где v – это вектор состоящий из коэффициентов алгебраического уравнения.

•find(x) – Если корень не найден, то стоит вызвать функцию

•minerr(x), которая возвращает приближенное значение корня

(Начальные условия)

Given

Блок Given: (Равенство c «жирным» знаком «=») Ограничения

(Вызов функции find или minerr)

2015

Мат. моделирование ХТ

42

Нелинейные уравнения - процессы разделения

компоненты, фракции (потоки)

A, B, C …

смесь

Энергия

и/или поглощающий агент

(10% от общемирового потребления)

Физический процесс, который управляет разделением смеси – установление равновесия между паром и жидкостью.

Основные функции процессов разделения:

•Фракционирование (например, атмосферная перегонка)

•Рецикл непрореагировавшего сырья (изомеризация C5-C6)

•Очистка сырья и продуктов (удаление каталитических ядов, повышение степени чистоты фракций для нефтехимии)

Процессы:

•Перегонка

•Охлаждение и кристаллизация

•Экстракция

•Экстрактивная перегонка

•Абсорбция

2015

Мат. моделирование ХТ

43

Парожидкостное равновесие смесей

Основные вопросы, на которые предполагается получить ответы:

•Какое количество фаз существует в системе при заданных температуре и давлении?

•Каков состав этих фаз?

•Какими термодинамическими свойствами (мольный объем, теплоемкость, энтальпия, энтропия,…) обладает каждая фаза и система в целом?

Термодинамические модели используемые в расчетах должны хорошо описывать не только газовую фазу, но и жидкость.

2015

Мат. моделирование ХТ

44

Изотермическое испарение

	V
F	yi
zi
Pi
Ti	L
	xi

Когда паровая и жидкая фазы находятся в равновесии, мольные доли каждого компонента в жидкости и в паре связаны уравнением

•	Константа равновесия (“K value”) K			yi
		i		xi
2015	Мат. моделирование ХТ					45

Однократное испарение (flash distillation)

В процессе однократного испарения жидкая смесь частично испаряется, при этом пар приходит в равновесие с жидкостью.

После однократного испарения потоки разделяются.

Типы расчетов:

•Однократное испарение

•Температура начала кипения, давление начала кипения (bubble point temperature, bubble point pressure).

•Температура конца кипения, давление конца кипения (dew point temperature, dew point pressure).

2015	Мат. моделирование ХТ

	V
F	yi
zi
	f
Pi
Ti	L
	xi

46

Температура начала кипения (bubble point T)

Дано: давление P и состав жидкой фазы xi

Найти: температуру T и состав yi паровой фазы (состав первого пузырька пара, который формируется вследствие подвода тепла к насыщенной жидкости).

Решение: •

•

Поскольку состав паровой фазы не известен

N
yi	1
i 1

Используя величину константы равновесия

			y		N
	Ki			i	Ki xi 1
			x	i	i 1

•Если система состоит из более чем 2 компонентов, для лучшей сходимости решения используют следующую форму уравнения

		N		0
	ln	Ki	xi
	i 1
2015	Мат. моделирование ХТ				47

Давление начала кипения (bubble point P)

Дано: температура Т и состав xi жидкой фазы

Найти: давление P и состав yi паровой фазы (состав первого пузырька пара, который формируется вследствие подвода тепла к насыщенной жидкости).

Решение:	• Поскольку состав паровой фазы не известен
	N
	yi 1
	i 1
	• Использую величину константы равновесия

	K			y
		i		x

i
i

N

Ki xi 1 0

i 1

2015

Мат. моделирование ХТ

48

Температура конца кипения (dew point T)

Дано: давление P и состав yi паровой фазы

Найти: температуру T и состав xi жидкой фазы (состав первой капли жидкости, которая формируется из насыщенного пара вследствие отвода тепла).

Решение: •	Поскольку состав жидкой фазы не известен
	N
	xi 1
	i 1
•	Использую величину константы равновесия

	K			y
		i		x

i
i

	N	yi
			1
		Ki
	i 1

2015

Мат. моделирование ХТ

49

Давление конца кипения (dew point T)

Дано: температура и состав паровой фазы

Найти: давление и состав жидкой фазы (состав первой капли жидкости, которая формируется из насыщенного пара вследствие отвода).

Решение: • Поскольку состав жидкой фазы не известен

N

xi 1

i1

•Использую величину константы равновесия

	K			y
		i		x

i
i

	N	y
		K
	i 1

i i

1

•Если система состоит из более чем 2 компонентов, для лучшей сходимости решения используют следующую форму уравнения

		N	yi
	ln				0
		i 1	Ki
2015	Мат. моделирование ХТ					50