Моделирование - Лекция
.pdf
Графическая локализация корня
В любой программе или программном пакете, позволяющем строить графики функций (Excel, Origin, Mathcad, Matlab и
т.д.), строится график непрерывной функции f(x) в некотором априорно заданном интервале. В случае необходимости производится корректировка интервала.
Визуально определяется примерное положение корней.
Интервал построения графика уменьшается до тех пор, пока положение корня не будет найдено с требуемой точностью.
•После локализации корня, для его более точного определения, может использован другой итерационный метод.
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
31 |
Пример графической локализации корня
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
32 |
Метод бисекций
После локализации корня производится вычисление значения функции на границах исходного интервала (a,b). Если значения f(a) и f(b) имеют разные знаки то:
• Вычисляем f(x), где x a b |
2 |
•Если f(x) одного знака с f(а), в качестве исходного выбирается интервал (x,b), иначе выбирается интервал (a,x).
Возврат к шагу 1.
•Вычисления продолжаются до тех пор пока не будет достигнута требуемая точность.
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
+Универсальность
–Плохая сходимость
ε |
L |
|
|
(a,b) |
|||
|
|||
|
2 |
n |
|
|
|
||
33
Метод Ньютона-Рафсона
Данный метод, как и многие другие, основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности начального приближения x0 к точному корню
f x |
f x |
0 |
f x |
0 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x x |
|
|
f x |
0 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
f x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
f x |
0 |
|
x x |
|
|
2 |
... 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– приближенное значение корня
Исходное уравнение заменяется линейным в окрестности корня.
Алгоритм имеет вид
xn 1 |
xn |
f xn |
Итерационная формула |
|
f xn |
метода Ньютона 1 порядка |
|
||
|
34 |
|||
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
|||
Сходимость метода Ньютона
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
35 |
Сходимость метода Ньютона
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
36 |
Сходимость метода Ньютона
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
37 |
Сходимость метода Ньютона
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
38 |
Сходимость метода Ньютона
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
39 |
Метод Ньютона второго порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
f x |
|
f x |
|
x x |
|
|
f x |
0 |
|
x x |
|
|
2 |
... 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итерационная формула метода Ньютона 2 порядка
|
|
|
f |
|
xn |
|
|
f |
x |
|
2 2 f x |
|
f x |
|
xn 1 |
xn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
||
f xn |
|
|
|
f xn |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Критерием для выбора знака «+» или «–» в итерационной формуле является близость значения f(xn+1) к нулю.
2015 |
Мат. моделирование ХТ |
40 |