МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

2

5

10

2n2 5n 10

0

в) lim

lim

n

n2

n3

0.

3

7n 1

7

1

1

n n

n

1

n2

n3

Анализируя рассмотренные пределы и способ их вычисления, можно

сформулировать ПРАВИЛО:

a0

ecли m k

,

b

Q (n)

0

если m k , где

Qm(n),Pk (n) – степенные функции, за-

lim

m

,

n P (n)

0 ,

если m k

k

висящие от n, m – старшая степень числителя, k – старшая степень знаменателя, a0 – коэффициент при старшей степени переменной n в числителе, b0 – коэффициент при старшей степени переменной n в знаменателе.

ПРИМЕРЫ.

а) lim

3 2n2 4

n 28

3

2

, так как m

2

, k max(

2

,

1

)

2

.

n 3 3n2 1

n

3 3

3

3 2

3

1

б)

2n 1

0, так как m

, k 2 m k.

lim

2

1

2

n

n

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ

ТЕОРЕМА 10 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть limx

x

n n

и, начиная с некоторого номера, xn b (xn b). Тогда x b (x b).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

xn b. Докажем, что тогда x b. Предпо-

ложим противное:

x b b x 0.

Так как

xn

сходится, то по определе-

нию

2

0

n0 N n n0

xn x

. Пусть b x ,

0.

Тогда

(b x) xn x b x n n0

xn

b n n0

– противоречие, так как по

ус-

ловию xn b. Таким образом,

сделанное предположение неверно и

x b.

Случай

xn b

рассматривается аналогично.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предельный переход не сохраняет строгое неравенство,

то есть, если

x

n

b,

то limx

b.

n

n

ПРИМЕР.

x

1

x

0 n N, но limx

lim

1

0.

n

n

n

n n

n n

11

ТЕОРЕМА 11. Пусть limx x, lim y

n

y и, начиная с некоторого номе-

n n

n

ра,

xn yn. Тогда x y.

Доказать самостоятельно, используя теоремы 7,10 для zn xn yn .

ТЕОРЕМА 12 (принцип двустороннего ограничения). Пусть

limx

lim y

n

a, кроме того, начиная с некоторого номера, x

n

z

n

y

. Тогда

n

n

n

n

zn

сходится и limzn a.

n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

n n1 xn zn yn

xn a zn a yn a

(1)

zn a max( xn a , yn a) n n1.

По определению 2

0

n2 N

n n2

xn x

,

(2)

и

0

n3 N

n n3

yn y

.

(3)

Зададим произвольное

0. Пусть

n0 max(n1,n2,n3). Тогда неравенст-

ва (1),(2),(3) верны n n0			zn a	n n0. Это означает по определению
2, что zn	сходится и limzn a, что и требовалось доказать.
	n

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется неубывающей (невозрастающей), ес-

ли n N xn xn 1 (xn xn 1). Неубывающая или невозрастающая последовательность называется монотонной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. xn называется возрастающей (убывающей), если

n N xn xn 1 (xn xn 1). Возрастающая или убывающая последователь-

ность называется строго монотонной.

ПРИМЕРЫ.

а) x

1

x

1

x

x

x

– убывающая.

n

n 1

n

n 1

n 1

n

n

б) y

( 1)n

1

y

1,

y

1

,

y

1

, y

1

,... y

монотонной не

n

n

1

2

2

3

3

4

4

n

является.

в) zn n2 zn 1 (n 1)2 zn zn 1 zn – возрастающая.

12

Заметим, что xn x1, zn z1 n N. Таким образом, всякая монотонная последовательность ограничена с одной стороны, именно: неубывающая – снизу, невозрастающая – сверху. Значит, для ограниченности неубывающей последовательности необходимо, чтобы она была ограничена сверху, для невозрастающей – снизу.

ТЕОРЕМА 13. Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится. Если невозрастающая последовательность ограничена снизу, то она также сходится.

Без доказательства.

Из теорем 5,13 следует теорема 14.

ТЕОРЕМА 14. Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Рассмотрим последовательность

	xn		1	n	x1 2, x2	9	, x3		64	, x4		625	,... x1	x2	x3	x4 ...
		1
			n			4			27			256

Можно показать, что xn возрастает, кроме того, xn 3 n N 2 xn 3, то есть xn монотонна и ограничена. Следовательно, по теореме 14 она сходится,

то есть x R limx	x,при этом по теореме 10	2 x 3. Это число обозна-
n n

чают e: оно иррационально, то есть представимо в виде бесконечной десятич-

ной непериодической дроби, и e 2,7182...

Таким образом, lim(1 1)n 1 e. Это равенство называют вторым

n n

замечательным пределом.

Логарифм по основанию e называют натуральным: loge x lnx.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция y f (x) определена на некотором множестве Х действительной оси, которое, быть может, не содержит точку x a, но содержит точки, бесконечно близкие к a, то есть 0 окрестность этой точки (a ,a ) содержит точки множества Х.

13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (предел функции в точке x a по Гейне). Число b

называется пределом функции

y f (x) в точке

x a, если для любой

у

последовательности значений ее ар-

гумента xn ,

сходящейся к a и со-

y f (x)

стоящей их чисел, отличных от a,

y

соответствующая

последователь-

1

ность

значений

функций

f (xn)

y2

сходится к

b

(рис.1).

Этот факт

b

обозначается так:

y2

lim f (x) b.

y1

x a

x1 x2 О

a x2

x1

x

Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (предел функции в точке x a по Коши). Число b

называется пределом функции y f (x)в точке

x a, если

0 ( ) 0 x X ,

0

x a

f (x) b

.

Это означает, что всегда найдется такой интервал, содержащий точку

y

y f (x)

x a, всюду внутри которого

f (x) отличается от b так ма-

b

ло, как нам захочется. Так как

b

по определению 0

x a

,

b

то a x a , x a. Если

min( 1, 2), то, очевидно,

x (a ,a ), x a верно

О

a 1

a a 2

x

неравенство

f (x) b

Рис. 2

(рис. 2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (предел функции на по Гейне) Число b называется пределом функции y f (x) при x , если для любой бесконечно

большой последовательности значений ее аргумента xn , все члены которой положительны, соответствующая последовательность значений функции

f (xn) сходится к b (рис. 3). Обозначение: lim f (x) b.

x

14

y

y1

y2

y f (x)

y3
b
О	x1	x2	x3						x
	Рис. 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 (предел функции на									по Коши).
Число b называется пределом функции							y f (x) при x , если
0 ( ) 0	x X,		x			f (x) b			(рис. 4).
y
			y f (x)
b
b
b
0									x
		Рис. 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 (предел функции на									по Гейне) Число b называ-
ется пределом функции		y f (x)		при			x , если для любой бесконечно

большой последовательности значений ее аргумента xn , все члены которой

отрицательны, соответствующая	последовательность значений функции
f (xn) сходится к b. Обозначение:	lim f (x) b.
	x
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 (предел функции на по Коши). Число b назы-
вается пределом функции y f (x)	при x , если

0 ( ) 0 x X,

x f (x) b .

Можно доказать, что определения предела по Коши и Гейне эквивалент-

ны.

15

ПРИМЕР. Вычислить

lim

x2 9

.

x 3

x2

x 3

Рассмотрим функцию y

9

x 3

y x 3. Выберем произ-

.

При всех

x 3

вольную последовательность x

n

3. Тогда

f (x

) x

n

3 6 неза-

n

n

n

висимо от вида

x . По определению 1 это означает, что

lim

x2 9

=6.

n

x 3 x 3

ТЕОРЕМА (об арифметических операциях над функциями, имеющими

предел). Пусть

lim f (x) b,

limg(x) c. Тогда существуют пределы в точке

x a

x a

f (x)

x a функций

f (x) g(x),

f (x) g(x),

(c 0)

g(x)

и

lim( f (x) g(x)) b c,

lim f (x) g(x) b c,

lim

f (x)

b

c 0.

c

x a

x a

x a g(x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию lim f (x) b, limg(x) c. По опреде-

лению 1 выберем произвольную x ,x

x a

x a

n

a и

x

n

a. Тогда соответст-

n

n

вующие последовательности

f (xn)

и

g(xn)

сходятся к b и c соответст-

венно, то есть

lim f (xn) b, limg(xn) c. По теоремам 6,7,8,9

n

n

f (xn)

b

lim( f (x ) g(x

)) b c, lim f (x ) g(x

) b c, lim

, c 0, что и требо-

n

n

n

n

n

n

n g(x )

c

валось доказать.

n

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Пусть Х – область определения функции, которая, быть может, не со-

держит точку

x a, но для любого 0 правая полуокрестность точки x a

(интервал (a,a )) содержит точки множества Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 (правый предел функции в точке

x a по Гейне).

Число b называется

правым пределом функции

y f (x)

в точке

x a, если

для любой последовательности значений ее аргумента xn ,

сходящейся к a и

состоящей их чисел, больших a, соответствующая последовательность значе-
ний функций f (xn) сходится к b. Обозначение: lim f (x) b.
			x a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 (правый предел функции в точке x a по Коши).
Число b называется правым пределом функции y f (x)в точке						x a, если
0 ( ) 0 x X ,	a x a		f (x) b		.

16

Для определения левого предела будем считать, что любая	левая полуок-
рестность точки x a, интервал (a ,a), содержит точки Х.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 (левый предел функции в точке x a по Гейне). Чис-
ло b называется левым пределом функции y f (x) в точке	x a, если для

любой последовательности значений ее аргумента xn , сходящейся к a и со-

стоящей их чисел, меньших

a,

соответствующая последовательность значе-

ний функций f (xn) сходится к

b. Обозначение: lim

f (x) b.

x a

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10 (левый предел функции в точке x a по Коши).

Число b называется левым пределом функции y f (x)в точке

x a, если

0 ( ) 0 x X ,

a x a

f (x) b

.

ПРИМЕР. Найти односторонние пределы (правый и левый) функции

x 1, x 0

, 0 x 2

y x2

в точках x 0

и x 2.

4 x , x 2

Так как справа от 0 и близко к нему y x2,

то lim

f (x) lim x2 0. Очевидно,

x 0

x 0

lim f (x) lim(x 1) 1, lim

f (x) lim(4 x) 2,

lim f (x) lim x2 4.

x 0

x 0

x 2

x 2

x 2

x 2

lim f (x) lim

f (x), lim f (x) lim f (x), что хорошо видно на графике функции

x 0

x 0

x 2

x 2

(рис. 5):

y

x

: x

0, x

0

y f(x)

n

n

n

n

x

: x

0, x

0

n

n

n

n

x

: x

2, x

2

n

n

n

n

1

x

: x

2, x

2

n

n

n

n

-

1 О

2

4

x Существуют ли lim f (x) и

f (xn) 1,

f (xn) 0,

f (xn) 4,

f (xn) 2.

lim f (x) ?

x 0 x 2

Не существуют, так как левый предел не равен правому пределу в этих

Рис. 5 точках. Имеет место утверждение:

для того, чтобы функция имела в точке предел , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные односторонние пределы.

17

x 1, x 0

	, 0 x 2
ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции y x2

4 x , x 2

в точке	x 4.
	lim f (x) lim(4 x) 0,		lim f (x) lim(4 x) 0
	x 4	x 4	x 4	x 4
	lim	f (x) lim f (x) 0 lim f (x) 0.
	x 4	x 4	x 4
					2	, x 1 в
ПРИМЕР. Найти односторонние пределы функции y x
точке	x 1.			2 x, x 1
			lim f (x) lim x2 1
	lim f (x) lim(2 x) 1,
	x 1	x 1	x 1	x 1
	lim	f (x) lim f (x) 1 lim f (x) 1.
	x 1	x 1	x 1
	y		Предел функции в этой точке суще-
			ствует, так как односторонние преде-

лы равны (рис.6).

y f(x)

1

	2	x
О 1

Рис. 6

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y (x) называется бесконечно малой (б.м.)

в точке x a, если lim (x) 0.

x a

ПРИМЕРЫ.		y x2	4	– б.м. в точках x 2,			y x2 x – б.м. в точках
x 0, x 1,	y x2	– б.м. в точке x 0.
Пусть (x)	и (x)	– б.м. в точке x a,				то есть lim (x) lim (x) 0.		Предел
						x a	x a
				(x)	называется неопределенностью вида			0
отношения б.м. функций			lim							.
			x a (x)					0

18

ПРИМЕР. (x) x2,

(x) x, (x) 4x – б.м. в точке x 0.

(x)

x2

0

limx 0.

lim

lim

x 0 (x)

x 0 x

0

x 0

(x)

x

0

1

1

lim

lim

lim

.

x 0 (x)

x 0 4x

0

x 0 4 4

(x)

4x

0

4

lim

lim

lim

.

2

x 0 (x)

x 0 x

0

x 0 x

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1) Б.м. в точке x a функция (x) имеет более высо-

кий порядок малости, чем (x), если

lim

(x)

0

0.

x a (x)

0

2) Б.м. в точке x a функции

(x) и (x)

одного порядка малости, если

lim

(x)

0

k, k 0, k .

0

x a (x)

3) Б.м. в точке x a функции эквивалентны, если

lim

(x)

0

1 .

0

x a (x)

Эквивалентные б.м. обозначаются так: (x) (x).

ПРИМЕР. (x)

x2

имеет более высокий порядок малости в точке

x 0, чем

(x) x и

(x) 4x.

(x) x и (x) 4x одного порядка малости.

ПРИМЕР. Сравнить функции (x) x2

и (x) x2 2x3 , б.м. в точке

x 0.

Вычислим предел отношения:

x

x2

0

1

1 (x) (x)

lim

lim

lim

2

2x

3

0

x 0 (x)

x 0 x

x 0 1 2x

в точке x 0.

19

ТЕОРЕМА (принцип замены эквивалентных бесконечно малых). Пусть

(x), 1(x), (x), 1(x) б.м. функции в точке x a и (x) 1(x), (x) 1(x).

lim

(x)

0

lim

(x)

.

Тогда

1

x a (x)

0

x a (x)

1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как

(x) 1(x), (x) 1(x),

то

(x)

0

(x)

x

x

(x)

(x)

(x)

(x)

lim

lim

1

1

lim

lim

1

lim

1

1 1 lim

1

.

x a (x)

0

x a (x) 1 x 1 x

x a 1(x) x a (x) x a 1(x)

x a 1(x)

Что и требовалось доказать.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

sinx

0

Докажем, что

lim

1. Это равенство называется первым заме-

x

x 0

0

чательным пределом.

x 0, то

Рассмотрим единичную окружность и угол x радиан. Так как

можно считать, что

x

.

Очевидно, что

2

y

S AOB SсектораАОВ S OCB. (рис. 7).

Так как

1

1

1

C

OA OB 1, то

sinx

x

tg x

2

A

2

2

sinx x tg x.

x

В

0

1

x

Разделим неравенство на

sinx 0:1

x

1

.

Рис. 7

sinx

cosx

Все выражения здесь положительны, поэтому перейдем к обратным

величинам:

sinx

cosx

1.

(4)

x

Так как функции y sinx, y cosx – четные, то есть x

sin x sinx, cos x cosx,

x x

20