МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции y						4x2 x.
ОДЗ: 4x2 x 0 x 4x 1 0			x 0,x	1	.
			4
1
x 0 x		0 – вертикальных асимптот нет.
4

k	lim	4x2	x					2,	b lim
	x	x								x

						x						1
4x2 x 2x
			lim										,
												4
					4x x 2x
			x		2

то есть при

x y 2x

1

– асимптота.

4

k

4x2

x

lim

2,

x

x

x

1

b

lim

4x

2

x 2x

lim

,

x

x

4x

2

4

x 2x

y

О	1	1
	8		4

	и	y 2x	1		– асимптота графика
		4
	при	x .
x	Эскиз графика				этой функции имеет
	вид (рис.38):

Рис. 38

ПРИМЕР. Найти асимптоты графика функции y 34x2 x.

Функция определена x R, поэтому вертикальных асимптот нет.

3 4x2 x

k

lim

0,

b lim

3 4x2 x ,

x

x

x

значит, график асимптот не имеет.

61

ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

1.Найти ОДЗ.

2.Определить свойства четности, нечетности, периодичности.

3.Найти точки разрыва и определить их характер.

4.Найти асимптоты графика.

5.Найти интервалы монотонности и экстремумы.

6.Определить направление выпуклости графика и точки перегиба.

7.Найти точки пересечения графика с осями координат.

8.Построить график: а) построить асимптоты

б) отметить контрольные точки из пп.5,6,7 в) построить график слева направо, используя информа-

цию из п.п.5, 6.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если f x – четная функция, то ее график симметричен

относительно оси OY ; если нечетная, то симметричен относительно начала координат. График периодической функции достаточно построить на отрезке длиной в период, а потом периодически продолжить.

x3

ПРИМЕР. Исследовать функцию y x2 4, построить ее график и эски-

зы первой и второй производных .

1.ОДЗ: x2 4 0 x 2.

2.Функция нечетная, то есть график симметричен относительно начала координат.

	x3		x3
3. lim		, lim			x 2 по определению точка раз-
x 2 x2 4		x 2 x2		4

рыва второго рода. Точку x 2 можно не исследовать вследствие нечетности функции и симметрии графика.

4. x 2 – вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты:

62

x

3

x

3

4x

k lim

1,

b lim

x

lim

0

y x

x x x2 4

x

x2 4

x x2

4

– наклонная асимптота при

x .

5. y

x4 12x2

x2(x2 12)

x1,2

0, x3,4 2

x2

4 2

x2

4 2 0

3.

Исследуем функцию на монотонность и экстремумы (рис. 39).

max

min

+

–

–

–

–

+

y (x)

y(x)

2

–2

0

2

2

х

3

3

Рис. 39

ymax y 2

3

5,1,

ymin y 2

5,1.

3

3

3

6. y

8x x2 12

0 x 0.

x2 4 3

Определим направление выпуклости графика и точки перегиба (рис. 40).

точка перегиба

	–	+	–	+
y (x)
y(x)		-2	0	2

Рис. 40

x 0 – точка перегиба.

7. y 0 0.

63

8. Построим график, а по нему – эскизы y (x) и	y (x) (рис. 41):
у

-2

2

х

y

1

-2

2

х

y

х

Рис. 41

64

Библиографический список

1.Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1989.

2.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1978. – Т.1.

3.Шипачев, В.С. Основы высшей математики / В.С. Шипачев. – М.:

Высш. шк., 1998. – 200 с.

4.Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е.Шнейдер, А.И. Слуцкий, А.С. Шумов. – М.: Высш. шк. 1978. – Т.2.

.

65

Редактор Компьютерная верстка

ИД 06039 от 12.10.01

Подписано в печать		Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Отпечатано на дуплекаторе.
Усл.печ.л.		Уч.-изд.л.
Тираж	экз.	Заказ

Издательство ОмГТУ. 644050, Омск, пр-т Мира, 11 Типография ОмГТУ

66

67

68