МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

то неравенство (4) верно для всех

x

,0 . Рассмотрим произвольную

2

x

:

x 0. Из (4) имеем:

cosx

sinxn

1, при этом

cosx 1.

n

n

n

x

n

n

sinx

n

Тогда по принципу двустороннего ограничения (теорема 12)

xn

сходится и limsinxn 1. По определению 1 предела функции в точке по Гейне

n x

n

получаем требуемое: lim

sinx

0

1.

x

x 0

0

ЗАМЕЧАНИЕ. Доказанное

означает, что в точке

x 0 б.м. функции

y sinx и y x эквивалентны:

sinx x в точке x 0.

ПРИМЕРЫ.

1)Вычислить

lim

sin5x

.

x 0

x

t

то t

sin5x

0

5sint

Пусть t 5x x

. Если x

0,

0 lim

lim

5,

5

t

x 0 x

0

t 0

или по-другому:

замены б.м.

2) limtg x

x 0 x

sin5x 5x lim	sin5x	0			lim	5x	5 согласно принципу
			0
x 0 x					x 0 x

0			lim	sinx	lim	1	1.
	0			x
			x 0		x 0 cosx

	Таким образом, tg x x при х 0.
	0
	При рассмотрении неопределенностей вида			можно пользоваться
		0

следующими соотношениями: при t 0

sint t

tgt t

arcsint t

arctgt t

et 1 t

ln (1 t) t

m

1

t

1 t

m

(3

1)tg4x

ПРИМЕРЫ. 1) Вычислить lim

1 sin3x

. При

x 0

ln(1 2x2)

x 0

21

3

sin

3x

;

ln 1 2x2 2x2,

tg 4x 4x,

1 sin

3x

поэтому

3

sin3x

0

4x

3x 2

lim

3

lim

2.

2x

2

0

x 0

x 0 3 x

1 cosx

0

2sin

2 x

2x2

1

2

2) lim

lim

lim

,

2

4 arcsinx 2)

arcsinx

x 0 tg4x(

0

x 0

x 0

4 4x 2

x

4x 2( 1

1)

8

4

x

x2

x

2

arcsin

x

так как sin

, 1

.

2

4

4

8

ЗАМЕЧАНИЕ. Принципом замены б.м. надо пользоваться внимательно. В следующих примерах он не применим.

1)	lim		sinx				0, так как числитель ограничен, а знаменатель стремится к
	x					x
бесконечности,
2)	lim					sinx				2	– этот предел неопределенностью не является,
						x
	x
	2
3)	lim				cosx				, так как cos x 1.
	x 0					x					x 0
											НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть x a									входит в область допустимых значений функции y f (x),

причем x a не является изолированной точкой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x a, если

1) существует конечный lim f x существуют конечные и равные

x a

односторонние пределы функции в этой точке: lim f x lim f x

x a x a

2) lim f x f (a).

x a

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точка-

ми разрыва.

22

Из определения 1 следует, что lim ( f x f a ) 0. Разность (x a) называ-

x a 0

ется приращением аргумента,

а разность (f x f a )

– соответствующим

этому приращению приращением функции. Обозначим

x a x,

f x f a y.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция

y f (x) называется непрерывной в точке

x a, если

lim y 0,

где y

– приращение функции, соответствующее при-

x 0

ращению аргумента x в точке x a.

y

ПРИМЕР.

Исследовать функцию

y f(x)

x 1, x 0

2

y

x2

, 0 x 2

1

4 x, x 2

на непрерывность в точках

-1 О 2

4

x

x 0, x 2, x 4 (рис. 8).

Рис. 8

1) x 0: lim f x 1,lim f x 0 lim f x lim f x в точке x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

функция непрерывной не является, то есть x 0 – точка разрыва.

2) x 2: lim f x 4,lim f x 2 lim f x lim f x x 2 также

x 2

x 2

x 2

x 2

является точкой разрыва.

3) x 4: lim f x lim f x 0 lim f x 4, f (4) 0 в точке x 4

x 4

x 4

x 4

функция непрерывна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна во всех его точках.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x a справа (слева), если она определена в этой точке и

1) существует конечный		lim f x	(lim f x )
		x a	x a
2) lim f x f a	(lim	f x f a ).
x a	x a

23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется непрерывной на отрезке a, b ,

если она непрерывна во всех его внутренних точках и непрерывна справа в точке x a и слева в точке x b.

График непрерывной функции можно нарисовать без отрыва. Можно показать, что все простейшие элементарные функции

y x , y ax, y loga x, y sinx, y cosx, y tg x, y ctg x, y arcsinx, y arccosx, y arctg x,y arcctg x

непрерывны на всей области определения.

Непрерывность, например, функции y cosx в точке x 0 означает, что

lim cos x cos 0 1.

x 0

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА

Непрерывность функции y f (x) в точке x a означает, что

1) функция в точке x a определена,

2)существуют конечные и равные односторонние пределы в этой точке,

3) lim f x f a .

x a

Невыполнение хотя бы одного из этих условий говорит о том, что x a – точка разрыва.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x a называется точкой разрыва первого рода,

если для функции y f x существуют конечные пределы	lim f x f a
	x a

	и lim f x f a ,			причем не все три числа f a , f a , f a равны меж-
	x a						f a f a f a , то точка x a называется
	ду собой. В частности, если
	устранимой точкой разрыва.
	ПРИМЕР. y				sinx		О.Д.З.: x 0.
					x
	lim	sinx	1, но		f (0) не существует. Значит, по определению x 0 – точ-
	x 0 x

ка разрыва первого рода, причем устранимая. Такой разрыв можно устранить: для этого нужно доопределить функцию в нуле:

sinx			x 0
		,
y	x		– функция, непрерывная для всех x R.
	1 ,		x 0

24

x 1, x 0
	, 0 x 2.	Точки x 0, x 2 являются точками
ПРИМЕР. y x2

4 x, x 2

разрыва первого рода этой функции, причем неустранимого.

Величина

f a f a

называется скачком функции в точке x a.

ПРИМЕР.

y arctg

1

.

О.Д.З.

x 1.

x 1

Так как

lim

1

и arctg t

,

то limarctg

1

,

x 1 x 1

t

2

x 1

x 1

2

limarctg

1

x 1 – точка неустранимого разрыва первого рода.

x 1

x 1

2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x a называется точкой разрыва второго рода

функции

y f (x),

если в этой точке хотя бы один из односторонних преде-

лов бесконечен или не существует.

ПРИМЕР.

y

1

.

О.Д.З.

x 1,x 2.

x 1 x 2

lim

1

x 1 – точка разрыва второго рода,

x 1 x 1 x 2

1

lim x 2 – также точка разрыва второго рода.

x 2 x 1 x 2

ПРИМЕР.			y sin			1		.	О.Д.З. x 0.
						x
limsin	1	lim sinz,		z	1		, не существует, значит, по определению			x 0 – точ-
x 0 x		z			x

ка разрыва второго рода.

25

26

	СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ТЕОРЕМА. Пусть		функции	y f x , y g x непрерывны в точке
x a. Тогда	f x g x ,	f x g x ,	f x	g a 0 также непрерывны в точ-
			g x

ке x a.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

По определению 1 непрерывности функции в точке lim f x f a ,

x a

limg x g a . Тогда по теореме об арифметических операциях над функ-

x a

циями, имеющими предел,

lim( f x g x ) f a g a ,lim(f x g x ) f		a g a , lim	f x		f a	,
x a	x a	x a g x			g a
так как g a 0, что и требовалось доказать.
Пусть	x X определена функция u u x	и U – область ее значений.
Кроме того,	u U определена функция y y u . Тогда говорят, что на мно-
жестве X задана сложная функция y y u x (суперпозиция, или компози-

ция функций			y y u				и u u x ).
	ПРИМЕРЫ. 1)						y sin2	x – композиция функций y u2		и u sinx.
2)	y lnsin		3x			:u 3x			, v sinu, u lnv.
				4				4
3)	y	1		:u x2 4x 5, y u 1.
		x2 4x 5
	ТЕОРЕМА					(о	непрерывности сложной функции).			Пусть функция

u u x непрерывна в точке x x0	и u x0 u0. Кроме того, функция		y y u
непрерывна в точке u u0 . Тогда сложная функция		y y u x непрерывна в
точке x x0 .

	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как	u u x непрерывна в точке x x0 , то по
определению 1 limu x u x0 u0.		Так как	y y u непрерывна в точке
	x x0	lim y u x lim y u y u0 y u x0 .
u u0	, то lim y u y u0 . Найдем
	u u0	x x0	u u0

Что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной называется всякая функция, которая задана одним аналитическим выражением, составленным из простейших элементарных функций при помощи четырех арифметических действий и суперпозиций, примененных конечное число раз.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказанных теорем следует, что все элементарные функции непрерывны в области определения.

ПРИМЕРЫ. 1)						x		,x 0
						y			– элементарной не является, так как задана
						x2		, x 0
двумя аналитическими выражениями.
2) y x	x3		x5		x7		x2n 1
						...			... – элементарной не является, так как
3		5		7			2n 1

представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых.

3) y	2		log		x2 4x 5 cos2x arctg4(x3 1)
				5					– элементарная функция,
	x4 4
		3			(2x 22x 3)5 sin(3x			)
							3

она непрерывна всюду, где определена.

Пусть		y y(x)	определена x a,b , y a , y b . Если каждому
значению		y ,	(или	y , ), соответствует единственное значе-
ние x a,b , то говорят,				что функция x x y – обратная для функции
y y(x).
		y			ПРИМЕРЫ. 1) y x2, x R
					y 0, – обратная функция не су-
	y x2				ществует (рис.9): любому значению
		y			y 0 соответствует два значения x.

x1 О x2

x

Рис. 9

27

2) y

x2, x

,0

–

y

y 0,

обратная функция определена и

x

(рис. 10).

y

y

x

О

x

Рис. 10

3)

y sinx, x R – обратная функция не существует. Но если рассматри-

x

вать только

,

, то x arcsin y – обратная функция (рис. 11). Обрат-

2

2

3

ная функция существует также, если считать, например, что

x

,

или

2

2

3

5

y 1,1

x

,

и т.д, так как одному значению

на каждом из этих про-

2

2

межутков соответствует единственное значение x.

y

y

y ex

y sin x

1

y

О

x

1

x

x

x

-1

О

x

x

2

1

2

2

3

Рис. 11

Рис.12

4)

y ex,

x R

Обратная функция x ln y (рис.12).

Как видно из рассмотренных примеров, существование обратной функ-

ции связано с монотонностью функции y y(x).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y y(x)

называется возрастающей (убы-

вающей) на множестве Х, если

x1,x2 X, x1 x2 y x1 y x2 y x1 y x2 .

Возрастающие или убывающие функции называются строго монотон-

ными.

28

ТЕОРЕМА (о

непрерывности обратной функции).

Пусть

функция

y y(x)

непрерывна и строго монотонна на a,b

и y a ,

y b . Тогда

на ,

(или на , )

определена обратная функция

x x y ,

также непре-

рывная и строго монотонная.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть,

например, y y(x)

возрастает на a,b , то

есть если

x1,x2 a,b и

x1 x2 ,

то

y1

y x1 y x2 y2.

Покажем, что

x x y

также возрастает, то есть если

y1

y2 , то x1

x2 . Предположим про-

тивное:

x1 x2, x1 x y1 ,

x2 x y2 .

Тогда,

так как по условию

y y(x) воз-

растает, то

y1 y2, что противоречит выбору y1 y2 . Таким образом,

x x y

возрастает.

Пусть

x0 a,b

– произвольная

y

y y(x)

точка,

y x0 y0,

y0

, .

Покажем,

что

x x y непре-

y2

рывна

в

точке

y0 ,

то есть

y

0

lim x y x y0 x0. По опреде-

y0

y y0

лению 2 предела функции в точ-

y0

ке по Коши это означает, что

y1

0 0 y , ,

О x0

x0

x0

x

y y0

x y x y0

.

Рис. 13

Пусть 0 произвольно и такое, что x0 , x0

a,b ;

y x0 y1,.

y x0 y2 (рис. 13). Так как y y(x) возрастает, то

y1 y0

y2.

Выберем 0 так, что

y0 y1,y0 y2.

Если

y y0

,

то

y0 y y0

y1 y y2 x y1 x y x y2

x0 x(y) x0 ,

так как

x x y тоже возрастает. Таким образом,

x x0

, что и означает непрерывность обратной функции.

ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной в точке функции).

Пусть

y y(x) непрерывна в окрестности точки x a

и

y a 0 y a 0 ,

тогда существует

0

такое,

что

y(x) 0

(y x 0)

для всех

x a ,a .

Эта теорема имеет ясный геометрический смысл: если непрерывная функция положительна (отрицательна) в точке x a, то она положительна (отрицательна) и где-то рядом.

29

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, например, y a 0. Так как y y(x) не-

прерывна в точке x a, то по определению 2 предела функции в точке

0 0 x a ,a y x y a y a y x y a .

Пусть

y a

0

y a

y x

3y a

y x 0

x a ,a .

2

2

2

Случай

y a 0, рассматривается аналогично с

y a

.

2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция

y y(x)

называется

ограниченной

сверху

(снизу)

на

множестве

X ,

если

M R m R такое,

что

y x M y x m x X.

Функция, ограниченная снизу и сверху, называется ограниченной на X , то есть m y x M x X.

ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке (без доказательства).

ЗАМЕЧАНИЕ. Непрерывная функция, заданная на интервале, может быть неограниченной.

y 1, x 0,2 . x

y

Очевидно, 1 1, то x 2

есть функция ограничена снизу, но сверху на этом интервале функция неограничен-

на (рис. 14).

0,5

О	2		x

Рис. 14

30