О вычислениях с приближенными числами

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении физических задач, являются большей частью приближенными. К таким величинам относятся, например, многие константы, приводимые в справочниках. Например, для нормального ускорения свободного падения в справочниках дается значение 9,81 м/с, для отношения длины окружности к диаметру – 3,14, для массы электрона – 9,1 10^–31 кг и т. п. При более точном вычислении или измерении эти величины оказываются равными g = 9, 80665 м/с², π = 3, 1416, m_e = 9,106·10^–31 кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более точных значений.

Значащими цифраминазываются всецифры в десятичном изображении числа, кроме нулей, стоящих в начале числа. Например, в числе 0,03040 первыедва нуля не являются значащими. Они служат только для установления десятичных разрядов остальных цифр. Нули после 3 и 4 являются значащими цифрами.

Очень часто студенты при вычислениях на калькуляторе получают ответ с таким количеством значащих цифр, которое совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Нужно ясно представлять, что все цифры за пределами точности измеренных (справочных) данных бессмысленны и бесполезны. Другой распространенной ошибкой является неправильное округление результатов с отбрасыванием верных значащих цифр.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

• При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных.

Например, при сложении чисел 4,462 + 2,38 + 1,17273+1,0262 = 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04.

• При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения 3,723·2,4·5,1846 следует вычислять выражение 3,7·2,4·5,2.

• В окончательном результате необходимо оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях, после их округления. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел.

• При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени.

Например, 1,32² ≈ 1,74.

• При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении.

Например, .

1 Теоретическое введение. Движение искусственных спутников земли

1.1 Системы отсчета в космической съемке

Ориентация космических снимков в пространстве выполняется при помощи звездной камеры путем фотографирования звездного неба. Таким образом, для координатно-временной привязки к местности необходимо учитывать орбитальное движение космического аппарата и, следовательно, использовать системы координат, в которых удобно описывать орбитальное движение.

Рисунок 1 — Инерциальная геоцентрическая система координат

Инерциальная система координат.В качестве инерциальной системы координат при изучении движения ИСЗ используют экваториальную геоцентрическую систему координат (рисунок 1.1), началоOкоторой находится в центре масс земли, осьOx направлена в точку весеннего равноденствия, осьOz совпадает с осью вращения Земли и положительна в направлении к Северному полюсу, а осьOyдополняет систему до триэдра правой ориентации.

Ось вращения Земли совершает очень медленное движение по круговому конусу — прецессию, и одновременно — небольшие колебания, при которых изменяется угол между осью вращения тела и осью, вокруг которой происходит прецессия, —нутацию. Поэтому экваториальная система координат непрерывно медленно изменяется сложным образом вследствие прецессии и нутации. Для того чтобы экваториальная система стала инерциальной, ее необходимо зафиксировать относительно некоторого времени (эпохи)Т₀. В космических исследованиях в качестве стандартной эпохи принимается эпохаТ₀= 2000,0.

Поскольку нутационные эффекты не превосходят 10^–4, при учете нутации можно ограничиться только линейными членами при разложении элементов матрицы нутации в ряды Тэйлора.

Положение точки iпространства в инерциальной системе координат задается еегеоцентрическим радиус-вектором, прямым восхождением_iи склонением_i.

Прямое восхождение _iотсчитывается в плоскости экватора против часовой стрелки от точки весеннего равноденствия до проекции радиус-вектора и обычно задается в часовой мере. Склонение_iпредставляет собой угол между геоцентрическим радиус-вектором и плоскостью экватора.

Таким образом, инерциальные геоцентрические координаты x, y, z задаются формулами:

(1.

а обратное преобразование

(1.

.

Инерциальная система координат устанавливается с помощью каталогов координат звезд.

Гринвичская система координат.Инерциальная система координат не всегда удобна, так как помимо трех координат точки необходимо указывать и момент времени, в который точка имеет заданные координаты. Поэтому применяют геоцентрическую гринвичскую систему координатOXYZ, начало которой, так же как и инерциальной, совпадает с центром масс Земли, осьOZнаправлена в средний Северный полюс Земли 1900–1905 г.г., а осьOXлежит в плоскости экватора 1900–1905 г.г. и направлена в точку пересечения экватора и меридиана Гринвича этой эпохи.

Переход от истинных инерциальных координат на эпоху фотографирования t_iк гринвичским координатам выполняют в два этапа.

На первом этапе система инерциальных истинных координат поворачивается вокруг оси OZна угол, численно равный истинному звездному времениSв Гринвиче, после чего осьOXсовпадет с мгновенным меридианом Гринвича:

, (1.

где – ортогональная матрица вращения, соответствующая повороту на уголS, численно равный звездному времени в Гринвиче, то есть

, (1.

где Sопределяется по формулам

(1.

где – истинное звездное время, значения которого публикуются в Астрономическом ежегоднике в разделе «Звездное время», ч (в часах);

– всемирное время в момент фотографирования, ч (в часах);

– звездное время в градусах.

На втором этапе перехода ось OZдолжна быть направлена в средний полюс эпохи 1900–1905 гг. Для этого необходимо располагать истинными координатами полюсаина эпоху фотографированияt_iотносительно среднего полюса 1900–1905 г.г., которые публикуются в специальном издании Международной службы движения полюсов (МСДП).

Вводят — матрицу, описывающую движение полюса,

. (1.

Координаты полюса в матрице (1. должны быть выражены в радианах. При вычислениях используют матрицу :

. (1.

Следовательно, переход от направления на звезду, заданного в средней инерциальной системе координат на эпоху каталога Т₀, к гринвичской системе координат выполняют на основании соотношения

. (1.

Геодезические системы координат. В геодезии и фотограмметрии наиболее широкое применение получили геодезические системы координат, заданные относительно референц-эллипсоидов. Международный астрономический союз (МАС) в 1976 г. рекомендовал общий земной эллипсоид с параметрами:

большая полуось a_e = 6378140 м;

сжатие _e = 1/298,57;

квадрат эксцентриситета ;

квадрат второго эксцентриситета ;

параметр ;

параметр .

Геодезическую систему координат задают широтой B₀, долготойL₀и высотойH₀исходного пункта и параметрами референц-эллипсоидаa_eи_e.

Начало геодезической системы координат O_Г, как правило, не совпадает с центром масс Земли на некоторую величину, однако всякая геодезическая прямоугольная система практически параллельна гринвичской системе координат.

Геодезические координаты задают в виде прямоугольных координат X_Г, Y_Г, Z_Г или в форме криволинейных координатB, L, H(геодезические широта, долгота и высота, отсчитываемая вдоль нормалиNк поверхности эллипсоида). ОсьO_ГX_Гнаправлена в точку пересечения геодезического меридиана Гринвича с плоскостью экватора, а осьO_ГZ_Гсовпадает с осью вращения эллипсоида. ОсьO_ГY_Гдополняет систему до триадра правой ориентации и положительна к востоку.

Связь прямоугольных и криволинейных геодезических координат:

(1.

,

где N — нормаль к поверхности эллипсоида,

, (1.

где _ —эксцентриситет земного эллипсоида.

Обратный переход от прямоугольных координат к криволинейным сложнее, поскольку требует последовательных приближений при вычислении широты.

Для таких вычислений Боурингом был предложен следующий алгоритм расчета, который обеспечивает необходимую точность.

Сначала вычисляют вспомогательный угол :

. (1.

Затем широту Bопределяют по формуле:

, (1.

где  — второй эксцентриситет земного эллипсоида,

. (1.

Геодезическую долготу Lопределяют по формуле:

, (1.

а высоту H— на основании равенств:

. (1.