1.2.2 Дифференциальные уравнения невозмущенного движения искусственных спутников Земли

Уравнения движения спутников Земли выводят на основе фундаментальных законов механики Ньютона и закона всемирного тяготения. Законы Кеплера получаются при этом как следствия.

Согласно закону всемирного тяготения Земля (массой М_) и спутник (массойm) притягивают друг друга с силой:

. (1.

С другой стороны, по второму закону Ньютона

F = ma, (1.

где a – ускорение.

Приравнивая правые части уравнений и проецируя ускорение на оси инерциальной системы координат, получаем:

(1.

где

— направляющие косинусы геоцентрического радиус-вектора спутника.

Подставляя в (1. выражения для направляющих косинусов, имеем:

; (1.

Уравнение (1. представляет собой систему трех нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, в результате интегрирования которой для любого момента t_iможно получить координатыx, y, zи составляющие скоростиИСЗ. При этом должны быть известны начальные условия (всего 6) интегрирования, например, координатыx₀, y₀, z₀и составляющие скоростидля начальной эпохиt₀.

Начальные условия можно задать элементами кеплеровой орбиты, которыми, как правило, являются: большая полуось a; эксцентриситет; долгота восходящего узла; аргумент перицентра; наклонение орбитыJ; время прохождения спутника через перицентрt_п.

1.3 Возмущенное движение исз

Рассмотрение движения в гравитационном поле сферической Земли с равномерным распределением масс и без учета других факторов является идеализацией и служит первым приближением в решении задачи о движении ИСЗ.

Реальное движение отличается от идеализированного наличием большого числа других сил (помимо гравитационной), каждая из которых существенно меньше силы тяготения Земли. Однако, именно вследствие действия этих возмущающих сил, элементы кеплеровой орбиты ИСЗ непрерывно изменяются.

Основными возмущающими факторами являются:

• неравномерность гравитационного поля Земли и его аномалии;

• сопротивление атмосферы;

• притяжение Луны, Солнца и других планет;

• магнитное и тепловое поле Земли;

• солнечное излучение;

• действие заряженных и нейтральных частиц;

Дифференциальные уравнения возмущенного движения КЛА можно записать в виде:

(1.

где a_x, a_y, a_z – суммарные значения ускорений по осям инерциальной системы координат, обусловленные действием возмущающих сил.

Решения этих дифференциальных уравнений: т.е. x, y, z,уже не постоянны, а являются некоторыми функциями элементов орбиты и времени. Их совокупность определяет мгновенную орбиту.

1.3.1 Возмущения, обусловленные отличием гравитационного поля Земли от центрального

В одном, весьма важном для практики случае, уравнения возмущенного движения могут быть упрощены, а именно, когда возмущающие силы потенциальны.

Функция V, являющаяся функцией координат точки, называетсясиловым потенциалом, или силовой функцией, если сила

. (1.

Функция П = –Vназывается потенциальной энергией точки.

Силовой потенциал V_сф, создаваемый силой тяготения сферической Земли, соответствующей невозмущенному движению, определяется по формуле:

V_сф. = /r. (1.

Для земного эллипсоида потенциал можно представить в виде ряда:

, (1.

где I_n – постоянные, характеризующие потенциал;a_e – экваториальный радиус Земли;r – геоцентрический радиус-вектор ИСЗ;P_n(sin ) – полиномы Лежандра поsin порядкаn.

При этом геоцентрическое склонение ИСЗ равно геоцентрической широте, которая связана с геодезической широтойBформулой:

, (Error: Reference source not found.

где  – эксцентриситет общего земного эллипсоида.

Коэффициенты I₂, ... ,I_n, входящие в выражение (1.30), называютсякоэффициентами зональных гармоник, а сами члены разложения (1.30) –зональными гармониками.

Определяющее значение имеет коэффициент I₂при второй зональной гармонике, которая задает динамическое сжатие Земли. Остальные коэффициенты значительно меньше.

По данным Смитсонианской Астрофизической обсерватории (САО) значения параметров:

I₂ = 1082,639·10^–6;

I₃ = –2,565·10^–6;

I₄ = –1,608·10^–6;

I₅ = –0,174·10^–6.

Параметры I₄,I₆, ... ,I_2n характеризуют симметричные относительно экватора вариации гравитационного поля геоида. Параметры с нечетными (I_3,I_{5, ...} I_2n) индексами характеризуют асимметричные относительно экватора вариации земного поля.

Разность потенциалов:

R = V – V_сф.(1.

называют возмущающим потенциаломилипертурбационной функцией, которая вызывает изменения кеплерова эллипса во времени.

Все возмущения орбит разделяют соответственно их периодам на три группы: вековые, долгопериодические и короткопериодические.

Долгопериодические возмущения имеют периоды от 100 до 200 суток. Часть их вызваны сжатием Земли и связаны с вековыми возмущениями аргумента перицентра , поскольку тригонометрические функцииизменяются с периодом 2. На долгопериодические возмущения накладываются короткопериодические, которые определяются тригонометрическими функциями линейных комбинацийМиили.

Параметр орбиты рза один оборот спутника вокруг Земли испытывает два полных колебания с амплитудой

, (1.

где = 2,634·10¹⁰км⁵·с^–2— постоянная поля тяготения земного эллипсоида.

Наклонение орбиты Jтакже совершает периодические колебания с максимальной амплитудой

. (1.