ЛАиАГ_технические_семестр1_Компл числа Матрицы Системы Прямые Плоскости Кривые втор пор

		)	sin		n a								A m			B n			C p							(3.19)
cos(																									.
	2
					n		a				A	2	B	2	C	2		m	2	n	2	p	2

Рис.3.3. Прямая и плоскость.
Условие параллельности прямой и плоскости есть условие
перпендикулярности векторов n и a :
Am+Bn+Cp=0.	(3.20)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости есть условие коллинеарности векторов n и a :

A		B		C	.	(3.21)
m		n		p

Условие принадлежности данной прямой данной плоскости:

Am Bn Cp 0,

(3.22)

Ax0 By0 Cz0 D 0.

31

4. Решение типового варианта

Вариант № 0

Часть 1 Линейная алгебра

1.Решить уравнение 4z2 16z 25 0.

Решение.

Решая формально квадратное уравнение, получим, пользуясь понятием мнимой единицы:

	z	8 82 4 25			8	64	100		8		36					8	6		1		4 3i	.
		4				4					4						4	2
	Ответ: 2 1,5i, 2				1,5i.
2.	Вычислить 1 i				1	2i	1	2i		2			2 i		3		i	2 .
											1			i

Решение.

Последовательно проводя алгебраические операции, получим:

1 i

1 2i 1 2i 2

2 i

3 i 2

1

i

1 i

1 2i 1 2i

2

(2

i)

1

i

3 i 2

(

1

i)

1

i

1

i 4i2

1 2

2

i

2i

i2

9

6i

i2

2

1

i

5

1 3i

8 6i

5 5i

1

3i 8 6i 2 4i.

Ответ: 2 4i.

						1	1	1	1
3.	Вычислить		A		, если: A	1	3	9	27 .
						1	2	4	8
						1	1	1	1

Решение.

Пользуясь свойствами определителей (см. тему 1.2), получаем:

		1	1	1		1			1		0	0	0				2		8	26
		1	3	9		27			1		2	8	26
A														1	1 1	1	3		3	9
		1	2	4		8			1		3	3	9
																	2		0	2
		1	1	1		1			1		2	0	2
						4		13				1	4	12				3	1		4	12
					1
2		3		2	1	1		3			12	1	1	2	12 1		1
																					1	2
					1	0		1				1	0	0
12		4 2		12		1		240.

32

Ответ: 240.

4.Решить систему методом Крамера

2x	y	2z	11,
x	y	4z	15,
3x	4 y	z	5.

Решение.

Сначала вычислим определитель системы (см. тему 1.5.2):

2	1	2		2	1	2			1	2		1	2
1	1	4		1	0	2	1	1						1 9	2	11	31.
												11	9
3	4	1		11	0	9

Так как определитель системы отличен от нуля, то решение системы

возможно по правилу Крамера, для чего вычислим побочные определители:

		11		1	2				11		1		2								1 1			2			4		2
		15		1	4				4		0		2						1														4				9	2	49	62.
1																											49		9
		5		4	1				49		0		9
				11	2				0		19		6										1 2			1			19				6
			2
			1	15	4				1		15		4						1
2																													40				11
			5	5	1				0		40		11
	19			11	6		40				209		240						31.
				1	11				2		1	11											1	2		1			4
			2
			1	1	15				1		0		4						1		1												1 49				4	11	93.
3																									11				49
			3	4	5				11		0	49
Поэтому x					1		62				2,	y			2				31					1,			z			3			93				3.
							31												31														31

Ответ: x=2; y=-1; z=3.

5.Решить систему матричным методом

3x	2 y	2z	1,
x	y	4z	12,
5x	4 y	z	29.

Решение.

Сначала вычислим определитель системы (см. тему 1.5.1):

3	2	2		1	2	6			2	2		1	6
1	1	4		0	1	0	1	1						1 17	6	9	71.
												9	17
5	4	1		9	4	17

33

Так как определитель системы отличен от нуля, то решение системы возможно матричным методом, для чего вычислим для матрицы A

обратную:

3 2 2

Имеем A 1 1 4 .

5 4 1

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A и

транспонируем ее:

17	19		9 T			17	10	6
10	7		22			19	7	10 .
6	10		1			9	22	1
			1			17	10	6
Тогда A		1				19	7 10 .
			71
						9	22	1

Так как решением системы AX=F является X=A-1F, то

	x			1		17	10	6	1	1	17 1		10	12	6 29
	y					19	7	10	12		19	1	7	12	10 29
				71						71
	z					9	22	1	29		9	1	22	12	1 29
		1		71			1
				355			5 .
	71
				284			4

Ответ: x=1; y=5; z=4.

6.Решить систему методом Гаусса

2x	y	z	7,
3x	2 y	z	4,
4x	3y	2z	19.

Решение.

Метод Гаусса (см. тему 1.5.3): заключается в последовательном исключении неизвестных, поэтому исключим из второго x и третьего уравнений x, для чего вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3/2, а к третьему прибавим первое умноженное на 2.

2x y z			7,	2x y z		7,	2x y z		7,
3x	2 y	z	4,	3, 5 y	2,5z	6,5,	7 y	5z	13,
4x	3y	2z	19.	5y	5.		y	1.

34

Из второго уравнения найдем z, а из первого x.

2x y z		7,	2x y	z	7,	x	2,
7 y	5z	13,	z	4,		z	4,
y	1.		y	1.		y	1.

Ответ: x=-2; y=1; z=4.

7.Решить систему

x	4 y	9z	11t	0,
x	3y	12z	10t	0,
4x	2 y	6z	2t	0.

Решение.

Решаем данную однородную систему (см. тему 1.5.4) методом Гаусса:

x 4 y 9z 11t	0,	x 4 y 9z 11t	0,	x 4 y 9z 11t			0,
x 3y 12z 10t	0,	7 y 21z 21t	0,	y	3z	3t	0,
4x 2 y 6z 2t	0.	14 y 42z 42t	0.	y	3z	3t	0.

Так как третье уравнение является следствием первых двух уравнений, то система является неопределенной, поэтому обозначим «свободные» неизвестные z=l и t=m выразим x и y через l и m.

x 4 y 9z 11t 0,		x 4 y 9z 11t 0,		x	3l m,
y 3z 3t 0,		y	3l 3m,	y	3l 3m,
z	l,	z	l,	z	l,
t	m.	t	m.	t	m.

И общее решение искомой системы:

Ответ: x=-3l-m; y=-3l-3m; z=l;t=m.

8.Решить уравнение XA=B,

где A	9	5	, B	71	19 .
	1	2		26	6

Решение.

Если A-1 - обратная матрица для матрицы A, то X=BA-1. Найдем A-1.

Так как A	9	5	9 2	5 1	23, то A-1 существует.
	1	2

35

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A:

2	1		. Тогда
5	9
A 1				1	2	1	T	1				2			5 .	Поэтому
				A 5		9		23				1			9
X = BA 1						71	19			1				2	5
						26	6							1	9
										23
	1			71	2	19 1		71		5				19	9	1		161	184	7	8 .
				26 2		6 1		26 5				6			9
	23															23		46	184	2	8
Ответ:				7		8 .
					2	8

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(3;2) и

перпендикулярной прямой y=-2x+9.

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (см. (2.16)), имеет вид

y-y1=k(x-x1) y-2=k(x-3).

Так как условие перпендикулярности прямых (см. (2.13)) имеет вид: k1k2=-1,

то (-2)k=-1, k=1/2.

Поэтому искомое уравнение имеет вид:

	y 2	1	x 3 ,	y	1	x	1	.
		2			2		2

	Ответ: y	1	x	1	.
		2		2

10.Даны вершины треугольника A(12;-4), B(0;5), C(-12;-11). Написать уравнения сторон и медианы, проведенной из точки A.

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (см. (2.17)), имеет

вид		x	x1				y	y1		, поэтому
		x	x				y	y
	2		1				2	1
AB	x		12			y	(	4)	,		x 12 y			4	, 3x 4 y 20 0.
	0		12			5	(	4)			4			3
															36

AC		x	12				y (			4)		,			x 12				y 4	, 7x 24 y 180 0.
		12	12		11			(		4)					24			7
BC		x 0					y 5		,		x y 5						, 4x 3y 15 0.
		12	0			11		5			3				4

Пусть медиана, проведенная из точки A, пересекает BC в точке D.

Координаты точки D найдем по формулам деления отрезка в данном отношении (см. (2.19)).

xD		0	12		6,		yD		5		(	11)			3.
			2								2
Запишем уравнение прямой AD через две точки:
AD		x	12			y	4	,		x	12			y	4	, x 18y 60 0.
		6	12		3		4				18				1
Ответ: AB						3x+4y-20=0; AC									7x-24y-180=0; BC 4x-3y+15=0;
						AD	x+18y+60.

11.Найти расстояние от точки M(1;2) до прямой 3x-4y+15=0.

Решение.

Расстояние от точки до прямой (см. (2.18)), найдем по формуле

d	3 1		4 2	15			10		2.
								5
	32			4 2

Ответ: 2.

12.Даны координаты вершин треугольника A(12;-4), B(0;5),

C(-12;-11). Найти угoл B.

Решение.

Запишем сначала уравнения сторон AB и BC. Уравнение прямой, проходящей

через две заданные точки (см. (2.17)), имеет вид																						x	x1		y	y1	, поэтому
																						x	x		y	y
																						2	1	2		1
AB	x 12				y ( 4)		,		x 12					y 4		,	y			3	x 5.
	0 12				5 ( 4)				4				3							4
BC	x 0					y 5		,		x		y 5			,	y		4	x 5.
	12		0		11		5		3				4				3

Так как прямые перпендикулярны, то угол B=90 .

Ответ: 90 .

37

13.Даны координаты вершин пирамиды A(3;1;4), B(-1;6;1), C(-1;1;6),

D(0;4;-1). Найти ее объем.

Решение.

Так как объем пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда,

построенного на векторах

AB,	AC, AD, как на ребрах, то найдем координаты этих векторов и вычислим
их смешанное произведение
AB		1		3; 6		1;1		4				4;5;		3 ,
AC		1		3;1		1; 6		4				4; 0; 2		,
AD	0	3; 4				1;	1	4				3;3;		5 .
			1			5		3			1		10	5	3			1				1				35
					4
VABCD					4	0		2					0	0	2												.
																				2 30 65				70
		6								6							6				6				3
					3	3		5					13	3	5

Ответ: 35/3.

14.Найти уравнение эллипса, большая полуось которого равна a=0,5, а

эксцентриситет равен =0,6.

Решение.

Эксцентриситет эллипса равен (см. (2.22)):

ac , c a 0,5 0, 6 0,3.

Так как b2=a2-c2=0,25-0,09=0,16, то уравнение эллипса:

	x2		y2
				1.
	0, 25	0,16

	Ответ:	x2		y2	1.
		0, 25	0,16

15.Вычислить угол между плоскостями 4x-5y+3z-1=0 и x-4y-z+9=0.

Решение.

Вектор нормали к первой плоскости: (4,-5,3), ко второй плоскости: (1,-4,-1).

Тогда угол между ними (и одновременно угол между плоскостями) равен

(см. (3.10):

38

	N		N	2					4 1	5	4		3 1		21							7
cos	1																						.
	N1		N2		42				5 2	32	12		4 2	1 2	50 18 10

Ответ: arc cos 107 .

16.Дан тетраэдр A(-1;2;5), B(0;-4;5), C(-3;2;1), D(1;2;4). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину D и параллель-ной стороне BC.

Решение.

Направляющий вектор стороны BC равен: (-3,6,-4). Этот вектор одновременно является направляющим и к искомой прямой. Уравнение данной прямой (см. (3.12)), поэтому, имеет вид:

x 1		y 2		z 4	.
3		6		4

Ответ:	x 1		y 2		z 4	.
	3		6		4

39

5. Контрольная работа № 1

Вариант 1.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение	25z2		16z		4	0.
2.	Вычислить 1 2i 3	2i 2	i	10	3	2i		3 i 2 .
				1		3i
				2		1	0
			4
3.	Вычислить определитель		1	2		5	0	.
			4	2		0	1
			0	4		1	0

4.Решить систему уравнений методом Крамера

x y z 5, 2x y z 6, x y 2z 4.

5.Решить систему уравнений матричным методом

x y 20z 18,

2x	7 y	z	4,
5x	y	z	5.

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

x y z 0, 5x y 4z 3, x 2 y 3z 5.

7. Решить однородную систему уравнений

x y 2z t 0, x y z t 0, x 3y 4z t 0.

8. Решить матричное уравнение

XA B,	A	1	2	, B	5	6 .
		3	4		7	8

Часть 2 Аналитическая геометрия

40