ЛАиАГ_технические_семестр1_Компл числа Матрицы Системы Прямые Плоскости Кривые втор пор

Вариант 15.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение	17z2			14z	5	0.
2.	1 3i 3 i 3 3i 18	3 i			3 2i 2 .
		3 3i
					1	1	0
				3
3.	Вычислить определитель			0	0	5	2	.
				3	2	0	1
				0	9	1	1

4.Решить систему уравнений методом Крамера

8x	9 y	z	73,
x	y	z	8,
2x	3y	z	17.

5.Решить систему уравнений матричным методом

4x y z 4,

3x	6 y	5z	16,
x	9 y	z	18.

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

x 6 y 3z 21, 4x 8y z 18, 3x 5y 4z 33.

7.Решить однородную систему уравнений

x y 2z t 0, 2x y z t 0, x y z 2t 0.

8.Решить матричное уравнение

XA = B,	A	9	6	, B	3	19 .
		6	7		84	71

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2, 2)

перпендикулярно прямой	x 3			y 1	.
	5			4
			61

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (1, -2),

B (5, 4), C (-2, 0).

11. Найти расстояние от точки А (4, 1) до прямой 12x 5y 7 0.

12.Найти угол B треугольника с вершинами А (1, -2), B (5, 4), C (-2, 0).

13.Найти объем пирамиды с вершинами А (2, -3, 5), B (0, 2, 1), C (-2, -2, 3),

D (3, 2, 4).

14.Написать уравнение окружности радиуса R=4 с центром в точке

C (3, 6).

15.Найти расстояние между плоскостями 4x-2y+4z-17=0 и 2x-y+2z+6,5=0.

16. Найти угол между прямыми x 3 y 2		z	и x 2	y 2	z	5		.
2				2

Вариант 16.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение		5z2	6z		26	0.
2.	3 3i 2 3i 3 i 5	3 2i		2 3i 2 .
		2 i
				3	1	1	0
3.	Вычислить определитель			9	0	1	2	.
				7	2	0	1
				0	4	10	0

4.Решить систему уравнений методом Крамера

9x	y	z	15,
6x	y	2z	12,
5x	4 y	z	3.

5.Решить систему уравнений матричным методом

6x	7	3z	13,
x 5y		4z	11,
5x	y	z	11.

62

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

5x	6 y	z	8,
x	8y	2z	7,
4x	9 y	z	7.

7.Решить однородную систему уравнений

x y z t 0, 2x 4 y z 2t 0, 3x y z t 0.

8.Решить матричное уравнение

AX = B,	A	1	3	, B	0	25 .
		1	7		8	49

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (7, 2)

параллельно прямой 3x y 9 0.

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (2, 2),

B (3, -2), C (7, 8).

11. Найти расстояние от точки А (5, 1) до прямой 20x 15y 8 0.

12.Найти угол между прямыми, заданными уравнениями 3x 5y 1 0 и

5x 4y 5 0.

13.Найти объем пирамиды с вершинами А (-1, 2, 5), B (0, -4, 5), C (-3, 2, 1),

D (1, 2, 4).

14.Составить уравнение эллипса, проходящего через точку M (2, -3) и

имеющего большую полуось a=4.

15.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(2;3;4) и

отсекающую на осях координат отрезки равной длины.

16.Даны координаты вершин пирамиды: A(4;0;2), B(0;5;1), C(4;-4;3), D(3;-1;5). Найти уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань

ABC.

63

Вариант 17.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение			26z2			6z	5	0.
2.	2 2i 1 i 1 i 13	2	3i		2 2i 2 .
		2	3i
							1	1	0
						3
3.	Вычислить определитель					0	0	5	9	.
						1	2	0	1
						2	0	6	1

4.Решить систему уравнений методом Крамера

4x	5y	z	1,
x	6 y	2z	5,
3x	2 y	2z	6.

5.Решить систему уравнений матричным методом

4x 2 y z 3,

6x 8y 3z 13,

5x y z 6.

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

3x 7 y 10z 8,

9x y 9 63,

7x 5y 7z 49.

7.Решить однородную систему уравнений

6x y z t 0,

2x 4 y z 2t 0,

3x y z t 0.

8.Решить матричное уравнение

XA = B,	A	4	7	, B	11 18 .
		1	2		27	45

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (3, 1)

перпендикулярно прямой	x 1			y 2	.
	6			7
			64

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (5, 3),

B (2, 2), C (3, -2).

11. Найти расстояние от точки А (3, 2) до прямой 15x 20y 9 0.

12.Найти угол C треугольника с вершинами А (2, 4), B (4, 0), C (-2, 0).

13.Найти объем пирамиды с вершинами А (4, 2, 5), B (0, 7, 2), C (0, 2, 7), D

(1, 5, 0).

14.Составить уравнение эллипса, если его большая полуось a=6 и

эксцентриситет e=0,5.

15.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX параллельно вектору с координатами (1;-2;3).

16.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

(3;-1;0) параллельно прямой	x 1		y 2	z 1.
	3		2

Вариант 18.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение		5z2			6z	5	0.
2.	3 i 2 3i 2 3i	13	3 3i			2 2i 2 .
			3 2i
						0	1	1	9
3.	Вычислить определитель					0	1	1	2	.
						1	2	0	1
						2	1	1	5

4.Решить систему уравнений методом Крамера

2x 2 y z 1,

3x y z 9, x 5y 3z 11.

5.Решить систему уравнений матричным методом

x y z 5, 2x y z 6, x y 2z 4.

65

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

5x	4 y	z	3,
9x	y	z	15,
6x	y	2z	12.

7.Решить однородную систему уравнений

x y z t 0, 2x y z 2t 0,

3x 5y 8z 2t 0.

8.Решить матричное уравнение

AX = B,	A	5	9	, B	60	37 .
		6	1		13	50

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (5, 7)

параллельно прямой y 9x 7.

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (7, 4),

B (7, 8), C (2, 2).

	11.	Найти расстояние от точки А (1, 7) до прямой 15x 8y 11	0.
	12.	Найти угол между прямыми, заданными уравнениями	x 7		y 1		и
			5		4

x 8 y 6

42 .

13.Найти объем пирамиды с вершинами А (4, 4, 10), B (4, 10, 2), C (2, 8, 4),

D (9, 6, 9).

14.Составить уравнение эллипса, если его большая полуось a=5 и

эксцентриситет e=0,2.

15.На расстоянии единицы от плоскости x+y-z+1=0 проведена параллельная ей плоскость. Написать ее уравнение.

16.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

(7;7;0) параллельно оси OZ.

66

Вариант 19.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение			5z2		14z	17	0.
2.	1 2i 1 3i 1 3i 13		3 i			3 3i 2 .
	3		2i
					3	1	0	8
3.	Вычислить определитель				7	0	5	2	.
					7	2	4	1
					3	4	0	7

4.Решить систему уравнений методом Крамера

5x y 3z 3,

3x y 9 3,

7x y 8z 9.

5.Решить систему уравнений матричным методом

x	9 y	z	18,
3x 6 y		5z	16,
4x	y	z	4.

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

5x	y	z	4,
3x	y	2z	3,
6x	5y	z	3.

7.Решить однородную систему уравнений

2x 3y z t 0, x y z 2t 0, 3x 2 y 5z 2t 0.

8.Решить матричное уравнение

XA = B,	A	3	5	, B	15	1 .
		2	1		9	54

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2, 0)

перпендикулярно прямой	x 1			y 3	.
	7			9
			67

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (5, -2),

B (1, 0), C (3, 2).

11. Найти расстояние от точки А (2, 1) до прямой 20x 15y 3 0.

12.Найти угол A треугольника с вершинами А (7, 8), B (2, 2), C (5, 3).

13.Найти объем пирамиды с вершинами А (3, 5, 4), B (8, 7, 4), C (5, 10, 4),

D (4, 7, 8).

14.Составить уравнение эллипса, проходящего через точку M (2, 5) и

имеющего большую полуось a=4.

15.На оси z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: x-y+z-2=0 и z+y+x+8=0.

16.Даны вершины треугольника A(2;-1;-3), B(5;2;-7), C(-7;11;6). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины B.

Вариант 20.

Часть 1 Линейная алгебра

1.	Решить уравнение		4z2			16z		25	0.
2.	2 3i 3 3i 1 3i	5	1 3i				3 3i 2 .
			1 2i
						1	3	1	0
3.	Вычислить определитель					1	7	5	2	.
						1	2	0	1
						2	0	1	0

4.Решить систему уравнений методом Крамера

3x 5y 7z 0,

2x 7 y z 15, x y z 0.

5.Решить систему уравнений матричным методом

7x y z 42,

5x y 3z 28, x y z 8.

68

6.Решить систему уравнений методом Гаусса

x	y	z	8,
8x	9	z	73,
2x	3y	z	17.

7.Решить однородную систему уравнений

5x y z t 0, x y z 2t 0, x y 5 2t 0.

8.Решить матричное уравнение

AX = B,	A	9	1	, B	20	43 .
		9	7		76	13

Часть 2 Аналитическая геометрия

9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (6, 2)

параллельно прямой 3x y 1 0.

10.Составить уравнения сторон треугольника с вершинами А (7, -5),

B (2, 5), C (-1, 3).

	11.	Найти расстояние от точки А (3, 0) до прямой 9x 12y								7	0.
	12.	Найти угол между прямыми, заданными уравнениями									x 7						y 4	и
											5						4
			x 11		y 3	.
			4		2
	13.	Найти объем пирамиды с вершинами А (-1, 2, 3), B (3, 3, 6), C (5, 1, 3),
		D (1, 7, 4).
	14.	Написать уравнение окружности радиуса R=7 с центром в точке
		C (7, -5).
	15.	Найти расстояние между плоскостями 2x-2y+z-17=0 и 4x-4y+2z-51=0.
	16.	Найти угол между прямыми x 3			y 2			z	и x 2	y 2		z		5		.
					12								3

69

Содержание

Общие методические указания………………………………………………………..3

Краткие теоретические сведения……………………………………………………..5

1.Линейная алгебра…………………………………………………………………………5

1.1Алгебра комплексных чисел…………………………………………………..5

1.2Матрицы, действия над ними…………………………………………………7

1.3Определители………………………………………………………………………….9

1.4Обратная матрица…………………………………………………………………..10

1.5Разрешимость систем линейных уравнений………………………….11

1.6Решение линейных систем…………………………………………………….12

2.Аналитическая геометрия……………………………………………………………15

2.1Векторы, действия над ними………………………………………………….15

2.2Прямая на плоскости………………………………………………………………17

2.3Кривые второго порядка………………………………………………………..19

3.Аналитическая геометрия в пространстве…………………………………..23

3.1Плоскость……………………………………………………….……………………….23

3.2Прямая в пространстве………………………………………………………….24

3.3Взаимное расположение прямой и плоскости……………………..26

4.Решение типового варианта………………………………………………………..27

5.Контрольная работа №1………………………………………………………………35

70