11. Комплексные числа

Литература. [4], т. I, гл. VII, § 1—3, упр. 1—10; [1], гл. V, § 7, п. 1—4.

В пособии [4] комплексное число z определено как выражение

z=a+bi (39)

где а и b — действительные числа, а символ i (мнимая единица) определяется равенством

(40)

Комплексные числа можно интерпретировать с помощью векторов: комплексное число z=a+bi изображается вектором r (а; b). Линейные операции над комплексными числами соответствуют тем же операциям над векторами, причем безразлично, производятся ли они непосредственно над направленными отрезками r плоскости или над элементами ее координатного пространства R² — парами чисел (а; b) (см. п. 7, с. 45). Но пару чисел (а; 0) можно отождествить с действительным числом а:

(а; 0) = а, (41)

а пару (0; b) можно записать в виде (0; b) =b(0; 1). Если обозначить

(0; l) = i, (42)

то в силу (41) и (42) получим

Следовательно, выражение (39) можно рассматривать как специфическую форму представления вектора (а; b) линейного (векторного) пространства R² в виде суммы двух векторов пар чисел — (а; 0)=a и (0; b)=bi.

Равенство (40) также может быть интерпретировано с точки зрения некоторой операции над элементами R², но уже не линейной операции, а дополнительно определенной операции умножения. Дело в том, что в множестве комплексных чисел кроме линейных операций должна быть определена еще одна операция — умножение. Ее определяют так, чтобы сохраняли силу все правила обычной алгебры (алгебры действительных чисел). Если z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i — два комплексных числа, то их произведение также комплексное число:

Для того чтобы последнее выражение имело смысл, надо определить смысл символа i² (т. е. произведения ii). Его-то и определяет условие (40), в силу которого получаем

или

Правило (43) или, что то же самое (43') умножения комплексных чисел является следствием (40). Обратно, если (43) или (43') принять за исходное определение операции умножения комплексных чисел, то их него, как следствие, вытекает (40). Действительно, в силу (42) и (43)

Обратимся снова к интерпретации комплексных чисел как векторов — направленных отрезков на плоскости: комплексное число z=a+bi изображается вектором с координатами (а; b). Тогда, очевидно,

или

(44)

где —модуль комплексного числа z (обозначается также r=|z| φ — угол вектора z с осью Ох — аргумент комплексного числа z. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно:

Поэтому вместо (44) можно записать

или

Выражения (39) и (44) являются различными формами записи комплексного числа г. (39) называется алгебраической формой, а (44) — тригонометрической формой записи. Для операции сложения комплексных чисел удобна алгебраическая форма их записи: при сложении комплексных чисел складывают отдельно их действительные и мнимые части. Для операции умножения комплексных чисел удобнее тригонометрическая форма' при умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают. Тригонометрическая форма удобна также при делении комплексных чисел, возведении их в степень и извлечении корня.

Множество комплексных чисел принято обозначать С. Интерпретация С как линейного векторного пространства R² с дополнительно определенной операцией умножения его элементов по формуле (43) принята в пособии [1].

В силу (41) множество действительных чисел R можно отождествить с множеством пар чисел вида (х; 0), которое является подмножеством С. К этому подмножеству не принадлежит пара (0; 1) = i, но в силу (39) любое комплексное число z=a+bi может быть представлено как сумма действительного числа а = (а; 0) и мнимого числа bi. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел С может быть получено расширением множества действительных чисел R. Для такого расширения достаточно каждое действительное число х рассматривать как пару (х; 0) и к множеству этих пар присоединить число (0; 1) = i.

Выше было рассмотрено понятие действительного линейного пространства; для элементов таких пространств определяется операция умножения на действительное число. Аналогично можно определить понятие комплексного линейного (векторного) пространства. Для этого нужно определить операцию умножения элементов данного множества L на комплексные числа. Действительные и комплексные линейные пространства имеют много общих свойств. В пособиях [1] и [10] такие пространства рассматриваются одновременно. Программа курса высшей математики предусматривает изучение только действительных линейных пространств.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется комплексным числом?

2. Какие интерпретации комплексных чисел вы знаете? Опишите их.

3. Что называется действительной и мнимой частями комплексного числа?

4. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

5. Что называется алгебраической и тригонометрической формами записи комплексного числа?

6. В каком случае два комплексных числа называются сопряженными?

7. 7. По каким правилам производятся арифметические действия над комплексными числами'

8. Запишите формулу Муавра.

После изучения темы III выполните контрольную работу 2.