Тема V. Производная и дифференциал

1. Производная

Литература. [4], гл. III, § 1, 2, упр. 1, 3, 4; § 3, упр. 7, 8; § 4—8, упр. 10, 12, 15, 16, 20—22, 24, 27, 29, 42, 45, 71; § 9, упр. 33— 40, 43, 46—48, 50, 52, 54, 56, 58, 59. 61, 64—68, 72, 74, 75, 78, 80; § 10, упр. 51, 53, 60, 62, 63, 79, 81; § И, упр. 142, 143, 147, 149—151; § 12, упр. 83, 85, 90, 100, 101, 108, ПО, 113; § 13, 14, упр. 116, 118, 120, 134, 137; § 15, упр. 222—227; § 16—18, упр. 152—157, 159—161; § 19; § 26, упр. 207, 210—213, 216—219; § 27.

Можно использовать также [5], гл. II, § 1—4; [9], ч. I, гл. VII, § 1.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?

2. Какой класс функции шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры.

3. Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.

4. Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.

5. Выведите формулы производных постоянной и произведения постоянной на функцию.

6. Выведите формулы дифференцирования тригонометрических и логарифмической функций.

7. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите примеры.

8. Выведите формулы дифференцирования степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.

9. Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.

2. Дифференциал

Литература. [4], гл. III, § 20, 21, упр. 162—164, 166, 169-171, 230, 231.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение дифференциала функции.

2. Для каких точек графика функции ее дифференциал больше приращения? Для каких точек он меньше приращения?

3. Для каких функций дифференциал тождественно равен приращению?

4. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции?

5. На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?

3. Производные и дифференциалы высших порядков

Литература. [4], гл. III, § 22, 25, упр. !72, 176, 183, 184, 188, 190, 194, 206, 233, 234; § 24, упр. 196, 201—205, 236; § 23.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

2. Каков механический смысл второй производной?

3. Как находятся первая и вторая производные функций, заданных параметрические?

4. Выведите формулу для производных n-го порядка от функций: y=х^k, y=е^kx, y=sinx, y=lnx

4. Свойства дифференцируемых функций

Литература. [4], гл. IV, § 1, упр. 1, 5, 7, 8; §2, упр. 9, 10, 12; § 3, упр. 17; § 4, упр. 19, 20, 23, 28; § 5, упр. 30, 33, 35, 38, 42, 45, 50, 52.

Можно использовать также [5j, гл. II, § 7, 9; [9], ч. I гл VII § 2, п. 1, 2.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. Каков ее геометрический смысл?

2. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?

3. Покажите, что точка с, фигурирующая в теореме Лагранжа, для функции y=px²+qx+r совпадает с серединой отрезка, для которого эта теорема формулируется,

4. Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0/0. Перечислите различные типы неопределенностей, для рас-крытия которых может быть использовано правило Лопиталя. При< ведите примеры.