Тема XXII. Операционное исчисление

Литература. [4], гл. XIX, § 1-9, 11, 13, 19; [9], ч. II, гл. VIII, § 1—3, задачи 1041—1047, 1054—1057, 1061—1065; [4], гл. XIX, § 10, 12, упр. 1—10; [9], г. II, гл. VIII, § 4, задачи 1072— 1078.

Операционным методом удобно решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы таких уравнений. Этот метод заключается в преобразовании данного уравнения (или системы), содержащего оригиналы, в уравнение относительно соответствующих изображений, после чего оказывается, что для нахождения изображений достаточно решить простое линейное алгебраическое уравнение (или систему таких уравнений). Затем остается восстановить оригиналы по найденным изображениям. Для успешного применения методов операционного исчисления студенту нужно уметь свободно применять теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями и хорошо знать изображения основных функций. Для этого рекомендуем составить таблицу соответствия операций и таблицу преобразования Лапласа и выучить их наизусть.

Вопросы для самопроверки

I. Дайте определение преобразования Лапласа. Что называется изображением и оригиналом?

2 Могут ли две различные непрерывные функции иметь одно и то же изображение?

3. Еслии, то какое изображение имеет af₁(t)+bf₂(t) (а, b-постоянные)? Докажите свойство линейности изображения.

4. Если , то какое изображение имеет e^-αtf(t)? Докажите теорему смещения.

5. Если (f(t)=0 приt≤0), то какое изображение имеет f(t—1\), ti>Ql Докажите теорему запаздывания.

6. Если , то какое изображение имеет f(at)? Докажите теорему подобия и найдите изображения функций sin at и cos at, считая известными изображения функций sint и cos t (a>0).

7. Докажите теорему о дифференцировании оригинала. Если , то какие изображения имеютf '(t), f''(t), f'''(t) [f '(t), f''(t), f'''(t) существуют при всех t>0]?

8. Если , то какое изображение имеет? Докажите теорему об интегрировании оригинала. Найдите с помощью этой теоремы изображение функции sin at.

9. Если , то какие оригиналы соответствуют F'(p), F"(p), F'"(p)? Докажите теорему о дифференцировании изображения. Найдите с помощью этой теоремы изображение функцииtⁿе^αt, считая известным изображение функции е^αt.

10. Еслии, то какое изображение имеет? Докажите теорему свертывания, о

I1. Изложите операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. Приведите примеры.

После изучения тем XX—XXII выполните контрольную работу 11.

Тема XXIII. Теория вероятностей

1. Случайные события

Литература. [8], гл. I, § 1—3, задача 6; гл. 2, § 4—5, задачи 1—8, 12, 14—16, 21; гл. 3, § 1—3, задачи 1, 2, 4, 13—16; гл. 4, § 1—3, задачи 1—21; [4J, гл. XX, § 1-6, 8, упр. 1—3, 8, 9, 12, 13; [9], ч. И, гл. V, § 1—4, задачи 776, 777, 792, 794, 809, 815.

Формулу Бернулли ([8], гл. 4, § 2; [4], гл. XX, § 8) практически используют при небольших значениях числа независимых испытаний n. При больших значениях n применяют локальную теорему Муавра—Лапласа ([8], гл. 4, § 3): если вероятность р появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы (0<р<1), то вероятность Р_n(m) того, что событие наступит в n независимых испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Здесь функция , причем значение аргумента находят по формуле. Эта функция табулирована, ее таблицы приведены в приложении (табл. 2) учебника [4]. В таблицах помещены только положительные значения аргументаx. Для отрицательных значений x используют те же таблицы, так как рассматриваемая функция — четная.

Пример 1. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1500 раз в 2100 испытаниях.

Решение. По условию, n=2100, m= 1500, р=0,7, q=l—0,7=0,3. Так как n = 2100 достаточно большое число, то воспользуемся локальной теоремой Муавра—Лапласа.

Найдем значение аргумента х:

По таблице функции f(x) находим f(1,43)=0,1435. Искомая вероятность

Если число независимых испытаний n велико (я>100), а вероятность появления события в каждом испытании р мала (р≤0,3), то. для отыскания вероятности того, что в этих испытаниях событие появится m раз, используют приближенную формулу Пуассона:

где λ_n=np (среднее число появлений события). Эту формулу можно получить из формулы Бернулли, перейдя к пределу при ([8], гл. 4, §3).

Пример 2. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию, n=1000, р=0,002, m=3. Поскольку число n велико, а вероятность p мала и элементы работают независимо, воспользуемся формулой Пуассона. Найдем λ_n; λ_n=np=1000∙0,002=2. Искомая вероятность

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте аксиомы теории вероятностей и следствия из них.

2. Дайте классическое определение вероятности В чем состоит различие между вероятностью и относительной частотой?

3. Дайте определение условной вероятности. Какие события называются независимыми'

4. Дайте определение произведения событий. Докажите теоремы умножения.

5. Докажите формулу полной вероятности.

6. Докажите формулу Байеса.

7. Дайте определение последовательности независимых испытаний, изложите схему Бернулли и докажите формулу Бернулли.

8. Сформулируйте локальную теорему Муавра—Лапласа, докажите теорему Пуассона. Когда применяются эти теоремы?