4_-_Laboratorny_elektronny_praktikum

Неправильно:

17±0,2 или 17,00±0,2 12,13±0,2 или 12,1±0,17 46,4±0,15 или 46,402±0,15

числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая цифра равна 3 или более.

Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

Правильно:

17,0±0,2

12,13±0,17

46,40±0,15

Числовые значения физической величины и ее погрешности записывают с указанием размерности единицы физической вели-

чины.
Правильно:	Неправильно:
(100,0 ± 0,1) кг	100,0 ± 0,1 кг

Задание

По заданной преподавателем выборке значений измеряемого свойства выполнить обработку результатов наблюдений в последовательности, приведенной в методических указаниях выше, определить действительное значение измеряемого параметра и доверительный интервал.

Представить полученные результаты обработки с учетом принятых правил записи и округления результатов измерений.

Контрольныевопросы

1 Для каких целей проводят многократные наблюдения?

41

2 Как проверяется правильность вычислений случайных отклонений?

3 Чем определяется разброс значений измеряемой величины?

4 Что значит доверительный интервал и доверительная вероятность?

5 В каком виде представляется результат измерения?

6 Перечислите правила округления результатов измерений.

3.2 Задача № 2 Обнаружение и исключение грубых погрешностей.

Теоретическая часть

Любой результат измерений содержит погрешность из-за наличия погрешностей самого средства измерений, применяемого метода измерений, влияния внешних условий и других естественных причин, вызывающих погрешности.

Погрешность результата измерения – это отклонение ре-

зультата измерения X от истинного значения Q измеряемой величины:

∆X = X − Q

Истинное значение физической величины (ФВ), идеальным образом отражающим свойство объекта, остается неизвестным в связи с наличием погрешностей и обычно используется в теоретических вопросах метрологии. На практике обычно используется действительное значение ФВ.

Действительным называется значение ФВ Xд, найденное экспериментально и настолько близкое к истинному, что в поставленной измерительной задаче оно может быть использовано вместо него. С учетом этого погрешность измерения ∆Xизм определяют по формуле:

∆Xизм = Xизм − Xд

(3.4)

где Xизм - измеренное значение величины.

Чем меньше погрешность измерения, тем выше его точность.

По характеру проявления погрешности делятся на систематические, случайные и грубые погрешности или промахи.

42

Систематическая погрешность – составляющая погреш-

ности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же ФВ. Их отличительный признак заключается в том, что они могут быть предсказаны, обнаружены и благодаря этому почти полностью устранены введением соответствующей поправки.

Величина систематической погрешности одинакова во всех измерениях, проводимых одним и тем же методом и с помощью одних и тех же приборов. Она не уменьшается с увеличением числа измерений. Но если она известна, то ее можно учесть.

Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии повторных измерений одного и того же размера ФВ, проведенных с одинаковой тщательностью в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов.

Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их можно существенно уменьшить, увеличив число наблюдений. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики. Для получения результата, минимально отличающегося от истинного значения измеряемой величины, проводят многократные измерения требуемой величины с последующей математической обработкой экспериментальных данных.

Для случайных погрешностей характерен ряд условий:

-малые по величине случайные погрешности встречаются чаше, чем большие;

-отрицательные и положительные относительно средней величины измерений, равные по величине погрешности, встречаются одинаково часто;

-для каждого метода измерений есть свой предел, за которым погрешности практически не встречаются (в противном случае эта, погрешность будет грубым промахом).

Грубая погрешность (промах) - это погрешность, не харак-

терная для измеряемого параметра или результата, приводящая к

43

явным искажениям результатов измерения. Наиболее часто они допускаются неквалифицированным персоналом при неправильном обращении со средством измерения, неверным отсчетом показаний, ошибками при записи или вследствие внезапно возникшей посторонней причины при проведении наблюдений. Промахи бывают видны среди полученных результатов, так как их значения существенно отличаются от остальных в совокупности измерений.

Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором.

К ним можно отнести:

•неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

•неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например, гирь;

•хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.

Если в процессе измерений не исключить грубые погрешности, то итоговый результат вычислений может существенно отличаться от действительного значения контролируемого параметра и привести к ошибочному техническому решению.

Но необдуманное отбрасывание резко отличающихся от других результатов измерений может привести к существенному искажению характеристик измерений. Иногда при обработке результатов измерений учет всех обстоятельств, при которых они были получены, не представляется возможным. В таком случае при оценке грубых промахов приходится прибегать к проверке статистических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат

измерений xi не содержит грубой погрешности, а является одним из значений случайной величины. Обычно проверяют наиболь-

шее хmax и наименьшее хmin значения результатов измерений. Для проверки гипотез используются различные критерии, ознакомлению с которыми посвящена данная лабораторная работа.

44

Методы обнаружения и исключения грубых погрешно-

стей.

При малом числе измерений (n < 20) выявить результаты измерений, содержащие грубые погрешности, можно с помощью методов Романовского и Диксона.

Метод Романовского.

Предельно допустимую ошибку (максимальную крайнюю погрешность) в статистическом ряду измерений вычисляют по формуле [1]

∆хпред = tдon × S

(3.5)

где tдon - коэффициент, принимаемый по табл. 3.2 в зависимости от числа измерений n и доверительной вероятности Р; Ѕ - среднеквадратическое отклонение, вычисляемое по формуле:

n

∑(xi −x)2

S =	i=1		(3.6)
		n −1

где хi - результат i-го замера; x - среднеарифметическое значение серии отдельных n измерений:

	1	n
x =		∑xi	(3.7)
	n i=1

Результаты измерений xmin и хmax содержат грубую ошибку и исключаются из статистического ряда измерений, если

	xmax −x >∆xпред
или	(3.8)
	x −xmin >∆xпред

Критерий Диксона.

При использовании данного критерия полученные результаты измерений записываются в вариационный возрастающий ряд: x1 < x2 < … < xn. Расчетное значение критерия определяется как

КД = xn −−xn−1 xn x1 .

45

Таблица 3.2 - Значения коэффициента tдon

Число		При Р			Число		При Р
изме-	0,90	0,95	0,98	0,99	изме-	0,90	0,95	0,98	0,99
рений n					рений n
3	1,06	1,06	1,06	1,06	12	1,79	1,89	2,00	1,71
4	1,27	1,28	1,29	1,30	13	1,82	1,92	2,06	2,11
5	1,40	1,44	1,47	1,48	14	1,86	1,96	2,11	2,16
6	1,50	1,58	1,60	1,62	15	1,89	2,00	2,16	2,21
7	1,57	1,64	1,71	1,73	16	1,91	2,00	2,18	2,23
8	1,63	1,70	1,78	1,82	17	1,92	2,03	2,20	2,25
9	1,68	1,76	1,87	1,90	18	1,94	2,05	2,22	2,27
10	1,72	1,81	1,91	1,97	19	1,95	2,07	2,24	2,29
11	1,76	1,85	1,98	2,02	20	1,97	2,09	2,26	2,31

Если расчетное значение критерия больше критического значения Zq, то проверяемое значение считается промахом и отбрасывается. Критические значения критерия приведены для различных уровней значимости (q = 1 – P) в табл. 3.3.

Задание и порядок выполнения работы

1. Приведенными выше методами проверить, содержит ли статистический ряд данных результаты измерений с грубыми погрешностями.

При обнаружении грубых погрешностей эти результаты измерений исключить из статистического ряда и вычислить новые,

исправленные значения статистических характеристик x , S для выборки n – 1 до тех пор, пока промахи не будут исключены полностью из результатов наблюдений.

2.При выполнении расчетов в данной лабораторной работе рассмотреть выборки из 20 и 10 результатов (выбирая только результаты измерений с четными номерами), формируемые на основе выданного по заданию массива исходных данных (см. лабораторную работу № 1).

3.В заключении сформулировать вывод по обнаруженным промахам и исправленной выборке результатов измерений.

4.При защите работы требуется полно и четко ответить на два контрольных вопроса из приведенных ниже.

46

Таблица 3.3 - Значения критерия Диксона

n		Z q при q , равном
	0,10	0,05	0,02	0,01
4	0,48	0,53	0,60	0,62
6	0,34	0,39	0,45	0,49
8	0,28	0,33	0,38	0,41
10	0,25	0,29	0,34	0,37
14	0,20	0,25	0,29	0,32
16	0,20	0,23	0,27	0,30
18	0,18	0,22	0,26	0,29
20	0,18	0,21	0,25	0,27
30	0,15	0,18	0,22	0,24

Контрольныевопросы

1 Чем различаются истинное и действительное значение физической величины?

2 В чем отличие систематической от случайной погрешности?

3 Основные признаки случайной погрешности?

4 Что такое грубые погрешности и какие источники их возникновения?

5 В чем заключается основной принцип оценки грубых промахов?

6 Как применить критерий Романовского для исключения из выборки промахов?

7 Порядок использования критерия Диксона для поиска промахов?

3.3 Задача № 3 Оценка влияния числа измерений на точность определе-

ния статистических характеристик.

Теоретическая часть

По форме выражения различают абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютную погрешность находят по формуле

∆xi =| xi − xД |,

(3.9)

47

где xi - значение величины, полученное в результате измерения; хд - значение, принятое за действительное (обычно среднее арифметическое значение).

Относительную погрешность находят в долях единицы по формуле

	δ =	∆xi	(3.10)
		xД

Чем выше точность измерения, тем ниже его погрешность, т.е . меньше отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения.

Относительная погрешность - величина безразмерная. Часто относительная погрешность выражается в процентах:

δ = ∆xxi ×100%

Ä

Величина относительной погрешности характеризует точность измерения.

В эксперименте всегда присутствуют случайные ошибки. Они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов.

Многократные повторения одного и того же измерения уменьшают величину случайной погрешности измерения. Чем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.

Теория случайных ошибок позволяет оценить погрешность и надежность измерений при данном количестве замеров, гарантирующих требуемую надежность измерения с погрешностью менее допустимой.

Данные, полученные в процессе измерений при контроле качества, удобно представлять в виде статистических характеристик положения и рассеивания случайной величины.

За наиболее вероятное значение величины X принимают среднее арифметическое значение результатов измерений:

x =	1	n	(3.11)
	n	xi
		∑i=1

где хi - результат i-го замера; n – количество наблюдений.

48

Для оценки рассеивания наблюдаемых значений параметра качества при многократных измерениях применяют несколько статистических характеристик.

Простейшей из них является размах R, вычисляемый как разность между наибольшим хmах и наименьшим xmin значениями результатов измерений в выборке

R = xmax − xmin

(3.12)

Размах существенно зависит от случайных обстоятельств и может быть применим лишь в качестве приблизительной оценки рассеивания, используемой, например, в контрольных картах.

Более точной мерой рассеивания отдельных значений вокруг среднего арифметического значения x является среднеквадратическое отклонение S, вычисляемое по формуле:

n

∑(xi −x)2

S =	i=1		(3.13)
		n −1

Отношение среднеквадратического отклонения к среднему арифметическому значению, выраженное в долях единицы или в процентах, называют коэффициентом вариации

	KВ =	S	(3.14)
		x

или в процентах

KВ = Sx ×100%

Безразмерный коэффициент вариации удобен для сравнения рассеивания случайной величины в выборках с разными средними значениями. По его величине можно оценить однородность измеряемого параметра. В случае высокой однородности параметра результаты измерения имеют меньший разброс и, как следствие, малое среднеквадратическое отклонение и низкий коэффициент вариации. Сравнивая полученное значение коэффициента вариации с предельно допустимым, можно оценить однородность: если Кв < Квдоп, то однородность контролируемого параметра удовлетворяет нормативным требованиям.

49

Порядок выполнения работы

Для оценки влияния количества наблюдений на точность результатов необходимо вычислить значения статистических характеристик для разных по объему выборок из одной и той же генеральной совокупности и сделать вывод о влиянии количества измерений на точность определения статистических характеристик данной совокупности результатов измерений.

Для решения задачи в данной работе необходимо сформировать выборки из десяти и пяти результатов на основе массива данных, использованного в задаче №1, придерживаясь следующего порядка:

1 Сформировать выборки, выбирая результаты с четными номерами для первой выборки (n = 10) и каждый четвертый – для второй (n = 5).

2 Вычислить значения статистических характеристик ( x ,

Rn, S, KВn) для выборок n = 20, n = 10 и n = 5.

3 Определить для каждой выборки абсолютную (∆) и относительную (δ) погрешности, принимая условно за действительные (как более точные) значения статистических характеристик, соответствующие выборке из наибольшего числа измерений (n = 20).

Так, например, погрешности вычисления среднего арифметического значения составят:

- для выборки из 10 измерений:

абсолютная погрешность ∆xn=10 =| xn=10 − xn=20 |

относительная погрешность δxn=10 = ∆xxn=10 ×100%

n=20

- для выборки из 5 измерений:

абсолютная погрешность ∆xn=5 =| xn=5 − xn=20 |

относительная погрешность δxn=5 = ∆xxn=5 ×100%

n=20

3Результаты расчетов свести в таблицу.

4Выполнить анализ данных, приведенных в таблице, и сформулировать вывод о влиянии количества измерений на точность определения статистических характеристик данной совокупности результатов измерений

50