Пример 7.

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих - сдельщиков:

Таблица 1.

Месячная з/п (варианта - х), руб.	Число рабочих, n	xn
х = 110	n = 2	220
х = 130	n = 6	780
х = 160	n = 16	2560
х = 190	n = 12	2280
х = 220	n = 14	3080
ИТОГО	50	8920

По данным дискретного ряда распределения видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так, варианта х встречается в совокупности 2 раза, а варианта х-16 раз и т.д.

Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается символом n.

Вычислим среднюю заработную плату одного рабочего в руб.:

Фонд заработной платы по каждой группе рабочих равен произведению варианты на частоту, а сумма этих произведений дает общий фонд заработной платы всех рабочих.

В соответствии с этим, расчеты можно представить в общем виде:

Полученная формула называется средней арифметической взвешенной.

Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Изменим в условии задачи состав рабочих и исчислим среднюю в измененной структуре.

Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами.

Расчет средней арифметической для таких рядов.

Пример 8.

Имеются следующие данные:

Таблица 2.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
3 — 5	10	4	40
5 — 7	30	6	180
7 — 9	40	8	320
9 — 11	15	10	150
11 — 13	5	12	60
ИТОГО	100		750

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы - от до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы. Исчисление средней по сгруппированным данным производится по формуле средней арифметической взвешенной:

Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:

(3 + 5) / 2 = 4

Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной:

Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.

Преобразуем рассмотренный выше ряд распределения в ряд с открытыми интервалами.

Пример 9.

Имеются следующие данные о производстве продукции за смену:

Таблица 3.

Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт.	Число рабочих, n	Середина интервала, х	хn
до 5	10	4	40
5 — 7	30	6	180
7 — 9	40	8	320
9 — 11	15	10	150
свыше 11	5	12	60
ИТОГО	100		750

В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.