- •Практическая работа №2. Абсолютные и относительные статистические величины. Средние величины и показатели вариации.
- •Средние величины.
- •Пример 7.
- •Пример 8.
- •Пример 10.
- •Пример 15.
- •Медиана
- •Пример 16.
- •Пример 17.
- •Показатели вариации.
- •Пример 21.
- •Пример 22.
- •Расчет дисперсии по формуле по индивидуальным данным и в рядах распределения.
- •Показатели относительного рассеивания.
Пример 10.
Определим средний процент выполнения плана по выпуску продукции по группе заводов на основании следующих данных:
Таблица 4.
Номер завода |
Выпуск продукции по плану, млн.руб. |
Выполнение плана, % |
1 |
18 |
100 |
2 |
22 |
105 |
3 |
25 |
90 |
4 |
20 |
106 |
5 |
40 |
108 |
ИТОГО |
125 |
— |
В этой задаче варианты (процент выполнения плана) являются не индивидуальными, а средними по заводу. Весами являются выпуск продукции по плану. При вычислении среднего процента выполнения плана следует использовать формулу средней арифметической взвешенной: ,
где — фактически выпущенная продукция, получаемая путём умножения вариант (процент выполнения плана) на веса (выпуск продукции по плану).
Производя вычисления, варианты (х) лучше брать в коэффициентах.
или 102,4%
Основные свойства средней арифметической.
Средняя арифметическая обладает рядом свойств:
1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.
Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится.
2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:
3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:
4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .
5. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:
Средняя гармоническая.
Наряду со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной.
Пример 11.
Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:
Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
все затраченное время
Среднее время, затраченное = --------------------------------------
на одну деталь число деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
Это же решение можно представить иначе:
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
Пример 12.
Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:
Таблица 5.
Номер завода |
Издержки производства, тыс.руб. |
Себестоимость единицы продукции, руб. |
1 |
200 |
20 |
2 |
460 |
23 |
3 |
110 |
22 |
Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Как и прежде, главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.
Издержки производства
Средняя себестоимость = ----------------------------------------
единицы продукции () Количество продукции
руб.
Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:
Мода.
Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода и медиана.
Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Пример 14.
Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:
размер обуви |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
и выше |
число пар, в % к итогу |
— |
1 |
6 |
8 |
22 |
30 |
20 |
11 |
1 |
1 |
— |
В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где - начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.