- •Часть 1.Определения и формулировки теорем
- •1. Матрицы и линейные операции над ними
- •2. Операции над матрицами
- •2.10. Теорема. (Свойства произведения матриц).Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
- •Определители
- •1.Выражение определителя через элементы матрицы
- •1.11. Простейшие свойства определителя.
- •2. Основные методы вычисления определителей.
Часть 1.Определения и формулировки теорем
1. Матрицы и линейные операции над ними
1.1. Пусть .Матрицей размера (читается m на n) или -матрицей называется совокупность чисел, записанная в виде прямоугольной таблицы изстрок истолбцов. При этом сами числа называютсяэлементами матрицы. Матрицу обозначают прописными латинскими буквами, при этом саму таблицу заключают в скобки (либо круглые, либо квадратные, либо двойные вертикальные):
; ;.
Элементы матрицы обозначают строчными буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в-й строке и-м столбце (в позиции). В этих обозначениях матрицы в общем виде могут быть записаны следующим образом:
.
Матрица А имеет размеры ,B – , aC – .
Удобно также пользоваться обозначениями:
- множество всех вещественных матриц размера ;
- матрица с элементамив позиции,
- элемент матрицы в позиции;
-матрица размера .
Часто вместо только нижних индексов удобнее использовать верхний и нижний индексы. Условимся о правиле соответствия этих двух записей: первый индекс соответствует верхнему индексу, второй индекс соответствует нижнему индексу, т.е. или.
1.2. Набор называют-строкой, а набор--столбцом матрицы().
Матрица размера называетсяматрицей-строкой, или строкой, или вектор-строкой, а размера матрицей-столбцом, или столбцом, или вектор-столбцом.
1.3. Матрица называется нулевой и обозначается O, если все её элементы равны нулю.
1.4. Если m=n, то матрица называетсяквадратной, а число n называется её порядком (говорят: квадратная матрица А n-го порядка).
1.5. Элементы квадратной матрицы образуют её главную диагональ и называютсядиагональными. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (при), а отличными от нуля могут быть только диагональные элементы (среди них также могут быть нули), то такая матрица называетсядиагональной. Обозначение:. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны между собой, называетсяскалярной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной (тождественной) и обозначается символами или. Единичная матрица выглядит так:
.
Если обозначить элементы единичной матрицы , то
.
Символ , равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называетсясимволом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с соответствующими символами Кронекера.
1.6. Квадратная матрица называетсяверхней треугольной, если при,нижней треугольной, если при. Неквадратная матрицаприn>m называется трапециевидной, если приi>j. Например, А – верхняя треугольная, В – нижняя треугольная, С – трапециевидная матрицы:
;
1.7.Число(или) называетсяследом матрицы.
1.8.Разобьем матрицусистемой горизонтальных и вертикальных линий на клетки (блоки).Клеточной(блочной) матрицей называется матрица, элементами которой служат эти клетки.
Например, матрица В разбита на 4 блока, а матрица С – на 6:
, .
Общий вид клеточной матрицы:
,
где - клетка, расположенная в-клеточной строке и в-клеточном столбце. Блочные матрицы продуктивно используются в вычислительной математике для обработки большого объема информации.