- •Часть 1.Определения и формулировки теорем
- •1. Матрицы и линейные операции над ними
- •2. Операции над матрицами
- •2.10. Теорема. (Свойства произведения матриц).Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
- •Определители
- •1.Выражение определителя через элементы матрицы
- •1.11. Простейшие свойства определителя.
- •2. Основные методы вычисления определителей.
1.11. Простейшие свойства определителя.
. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
. При транспонировании квадратной матрицы значение определителя не меняется, т.е. .
. При перестановке двух столбцов (строк) в матрице ее детерминант меняет знак.
. Определитель, имеющий два одинаковых столбца(строки), равен нулю.
. Если одна из строк(столбцов) матрицы полностью состоит из нулей, то ее определитель равен нулю.
. Общий множитель у всех элементов столбца (строки) можно вынести за знак определителя, т.е. при умножении строки (столбца) матрицы на число ее определитель умножается на это число.
. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то определитель матрицы равен нулю.
. Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить линейную комбинацию других ее строк (столбцов), то ее определитель не изменится.
. Если элементы -го столбца матрицыпредставляют собой линейную комбинацию вида, то, где матрицыиполучаются из матрицыпутем замены-го столбца на элементыи.
. Если в определителе выбрать какую-либо строку (столбец), то определитель равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
-
разложение по i -й строке,
-
разложение по j-му столбцу.
. Сумма произведений какой либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.
. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т.е. .
2. Основные методы вычисления определителей.
2.1. Метод приведения к треугольному виду. Этот метод состоит в преобразовании определителя к такому виду, когда элементы, стоящие по одну сторону от главной (побочной)диагонали, равны нулю. Последний определитель равен произведению элементов главной диагонали (побочной диагонали, умноженному на ).
2.2. Метод представления определителя в виде суммы определителей. Этот метод применяется к тем определителям, которые легко вычисляются разложением на сумму определителей того же порядка относительно столбцов или строк.
2.3.Метод изменения элементов определителя. Этот метод эффективен в том случае, когда изменение всех элементов определителя на одно и тоже число приводит его к виду, позволяющему легко вычислить сам определитель и все его алгебраические дополнения.
2.4. Метод рекуррентных соотношений. Этот метод позволяет выразить данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.