2. Операции над матрицами

2.1. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если ,.

Обозначение:.

2.2. Суммой матриц иназывается матрица, элементы которой определены равенством

_, .

Обозначение: .

Таким образом, из определения видно, что складываются матрицы только одинаковых размеров, матрица-сумма имеет те же размеры, что и матрицы-слагаемые, причём при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.

2.3. Матрица называетсяпротивоположной к матрице .

2.4. Разностью матриц иназывается матрицатакая, что.

Обозначение: .

2.5. Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой определены равенством

,.

Обозначение : .

Таким образом, из определения видим, что при умножении матрицы на число получаем матрицу тех же размеров, причём все элементы матрицы умножаются на то же число.

2.6. Теорема. (Основные свойства сложения матриц и умножения матрицы на число). Для любых и любых

1°. A + B = B + A (коммутативность);

2°. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность);

3°. (существование нейтрального элемента);

4°. (существование противоположного элемента).

5°. (А + В)= А + В;

6°. (+) A = A + A;

7°. () A = (A);

8°. 1A = A.

Операции сложения и умножения матриц на число называются линейными операциями.

2.7.Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют однозначно определить матрицу

,

называемую линейной комбинациейматриц с коэффициентами . Линейная комбинация матриц называетсятривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю инетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

2.8.Матрицыназываютсялинейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная нулевой матрице илинейно независимымив противном случае. Таким образом матрицы- линейно зависимы, если существуют числа, среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что. Если данное равенство возможно лишь при, то матрицылинейно независимы. Матрицылинейно зависимы тогда и только тогда, когда одна из них есть линейная комбинация остальных.

2.9. Произведением матрициназывается матрицатакая, что

, .

Обозначение: .

Из определения следует, что умножение матриц определено не для любых матриц, а только для таких, что количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго. Если размеры матриц-сомножителей поставить рядом, то посередине должны получиться одинаковые числа, а если эти одинаковые числа зачеркнуть, то оставшиеся числа как раз и будут размерами матрицы-произведения (). Если произведениеопределено, то произведение,может быть и не определено. Но даже, если оба произведенияиопределены, то, вообще говоря,.

Рассмотрим матрицу :

.

Разбиение этой матрицы на столбцы имеет вид

,

где

, ,,.

Разбиение этой матрицы на строки имеет вид:

,

где

, ,,.

Рассмотрим матрицы и. Их произведение - это матрицатакая, что

, .

Рассмотрим разбиение матрицы на столбцы:

, рассмотрим строение -го столбца:

====.

Таким образом,

1) - й столбец матрицы равен линейной комбинации столбцов матрицыс коэффициентами, равными элементам- го столбца матрицы;

2) - й столбец матрицы равен произведению матрицына- й столбец матрицы.

Аналогично,

1) - я строка матрицы равна линейной комбинации строк матрицыс коэффициентами, равными элементам- й столбца матрицы;

2) - я строка матрицыравна произведению- й строки матрицына матрицу.