Основные понятия

Плоская волна, распространяющаяся по направлению оси:

или .

Реализовать плоскую волну можно с помощью коллиматоров – линзовых и зеркальных:

РИС.25-3

Фронт волны тем более плоский, чем меньше расходимость пучка. У газовых лазеров расходимость ~, но с помощью специальных коллиматоров можно уменьшить расходимость до.

Понятие монохроматической волны идеализировано. Монохроматическая волна рождается колебанием, которое длитсявечно.

РИС.25-4

На самом деле в некий момент времени колебание начинается, а в момент времениколебание заканчивается. В идеальном варианте. На самом деле, где- период колебаний, значит, излучение не является монохроматическим в строгом смысле. Оно представляет собой импульс излучения конечной длительности. Такой импульс, как известно, может быть разложен в ряд Фурье, то есть может быть представлен в виде суммы конечного или бесконечного числа членов вида. Чем меньше длительность импульса, тем шире спектр содержащихся в нем частот.

Какова природа излучения? Кратко и схематично – это световые кванты, излучаемые отдельными атомами при электронных переходах. Поэтому фактически каждый акт излучения происходит в течение времени . Отсюда следует, что в спектрах нагретых тел (и, конечно в дневном свете Солнца) содержатся все частоты от 0 до, и нужно предпринять вполне определенные усилия, чтобы выделить составляющие с определенной частотой(или с определенной длиной волны).

Для выделения определенной частоты, определенной длины волны из так называемого «белого» света (из сплошного спектра частот) служат различные устройства, называемые монохроматорами. Главная часть монохроматора – это устройство (среда, элемент), свойства которого сильно зависят от длины волны. Как правило, выбор того или иного способа выделения монохроматического излучения и, следовательно, ширина выделяемого интервала частот задаются условиями задачи.

Чаще всего используются:

фильтр – от частоты зависит прозрачность (велико), призма – от частоты зависит угол отклонения луча света (меньше, чем у фильтра), решетка дифракционная – от частоты зависят и угол отклонения и другие оптические характеристики; употребляется, как правило, в сочетании с фильтром (мало).

РИС.25-5

Наиболее монохроматичное излучение получается с помощью лазеров:

He-Ne- 6328Å,CO₂– 10.6 мкм, АИГ(алюмо-иттриевый гранат):Nd– 1.06 мкм.

Поляризация излучения

В естественном свете встречаются все возможные поляризации, и это обусловлено природой каждого элементарного акта излучения: один излучатель работает с, поэтому все направления колебаний электрического вектора электромагнитной волны оказываются равновероятными. В естественном свете смешаны электромагнитные колебания всевозможных поляризаций. Чтобы выделить колебания с определенной поляризацией, используются устройства, называемыеполяризаторами.

Исторически – впервые явление раздваивания луча при прохождении через кристалл исландского шпата было открыто Бартолином в 1670 г. Через 20 лет, в 1690 г., Гюйгенс обнаружил, что эти лучи ведут себя по-разному при прохождении через второй кристалл исландского шпата - интенсивность одного из лучей падает до нуля.

Чтобы понять эти явления, необходимы представления о симметрии кристаллов.

Имеются 32 различные точечные группы симметрии (7 кристаллических классов), с учетом трансляционной симметрии получаются 230 пространственных групп.

Принцип Неймана

Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии точечной группы кристалла.

С точки зрения оптических свойств 7 кристаллических классов делятся на:

Оптически изотропные	Одноосные	Двуосные
Кубический кристалл Оптически изотропными являются также аморфные среды	Тетрагональная Тригональная Гексагональная структура	Триклинная Моноклинная Орторомбическая структура

Прохождение света через турмалин

Турмалин – это минерал сложного состава, тригональная система, точечная группа : три зеркальные плоскости симметрии под углом. Турмалин – оптически одноосный кристалл.

РИС.25-6

РИС.25-7

Ось третьего порядка – это оптическая ось кристалла турмалина.

- направление распространения электромагнитных волн перпендикулярно оптической оси.

Если пластину вращать, то интенсивность света не меняется. Поставим вторую пластинку турмалина:

РИС.25-8

Интенсивность света, прошедшего через пластинки, зависит от угла между осями , причем интенсивность, где.

Объяснение:

1. Какова интенсивность излучения, прошедшего через пластинку 1.

Пусть в некоторый момент времени на пластинку падает электромагнитная волна, такая, что электрический вектор в этой волне составляет уголс оптической осью.

РИС.25-9

Параллельная оси компонента электрического вектора:.

Перпендикулярная компонента электрического вектора: - не проходит.

Интенсивность прошедшего излучения:.

Это интенсивность, определяемая углом между направлением электрического вектора и осью . В падающем излучении присутствуют все возможные направления электрического вектора. Поэтому для вычисления интенсивности прошедшего через пластинку света необходимо провести усреднение по всем направлениям, т.е. по всем углам.

Интенсивность падающей на пластинку волны: .

Интенсивность прошедшей волны:

{от угла не зависит} ==.

Интенсивность света, прошедшего через одноосную пластинку не зависит от угла и составляет ровно 50% от интенсивности падающего света.

РИС.25-10

Через вторую пластинку пройдет -закон Малюса.

Значит, если , где- любое целое число, (перпендикулярная установка поляризатора), то.

Если (параллельная установка), то- проходит все излучение, падающее на вторую пластинку.

Степень поляризации: .

Исследуется зависимость интенсивности излучения, прошедшего через вторую пластинку от угла между оптическими осями этих пластинок.

Для естественного света вращение однойпластинки не изменяет интенсивности прошедшего света (здесь и используется только одна пластинка).

Следовательно, здесь и.

Прошедший через первую пластинку свет является плоско поляризованным, тогда через вторую пластинку ничего не пройдет при , следовательно,- второй предельный случай.

Степень (коэффициент поляризации меняется от 0 для естественного света до 1 для плоско поляризованного света. Во всех остальных случаях .

Имеются и иные методы создания излучения, поляризованного определенным образом (кроме рассмотренного случая поляризации при прохождении через одноосные кристаллы), например, поляризация при отражении (при падении света на зеркало под определенным углом). Однако из изложенного следует, что для создания плоской монохроматической электромагнитной волны нужно воспользоваться коллиматором, монохроматором и поляризатором.

Часто используется представление о квазимонохроматической волне , гдеи- медленно меняющиеся функции времени. Вы убедились ввозможностипрактической реализацииплоской волныи вневозможностиреализациимонохроматической волны. Обратим внимание на несколько важных моментов.

Монохроматическая волна – бесконечная в пространстве – создается гармоническими колебаниями, бесконечными во времени. Реальные колебания продолжаются некоторое конечное время . Вы знаете, что немонохроматичность волны обуславливает конечную ширину спектральной линии. Существенным является связь между длительностью гармонического колебания и шириной спектральной линии. Путем разложения цуга волн в интеграл Фурье получили:

²⁶Скорости волнового движения

Отдельные осцилляторы, составляющие среду, не перемещаются, а лишь колеблются около своих положений равновесия; мы наблюдаем как волны лишь фазовые соотношения между отдельными осцилляторами.

Три скорости.

1. Скорость частиц:

- обычная гармоническая скорость.

2. Фазовая скорость – скорость перемещения по оси поверхности постоянной фазы:

3. Групповая скорость – скорость распространения информации в волне. Если волна информации не переносит, то. Например –монохроматическая волна.

Чтобы волна переносила информацию, ее надо как-то пометить (промодулировать).

,- несущая частота,- частота модуляции.

В результате излучения возникает волна, содержащая частоты в диапазоне .

Гц.

РИС.26-1

Для передачи информации нужен некоторый интервал частот.

По мере уменьшения полосы частот убывает и объем передаваемой информации. Как только , информация. Монохроматическая волна информации не несет.

Информация передается группой волн.

Информация не может распространяться со скоростью , иначе будет нарушен принцип причинности:.

Информация передается с помощью модуляции, значит, групповая скорость определяется скоростью распространения фазы модуляции:

.

Приращение фазы: ,

- разность значений функций, деленная на разность значений аргументов.

Вспомним ряд Тейлора:

Отсюда находим:

При достаточной малости интервала :

.

Отсюда – групповая скорость: .

Фазовая: .

Примеры

1. Вакуум(среда без дисперсии).

;;.

Примечание. Дисперсия света открыта Ньютоном в 1672 г. Разложение света в спектр происходит потому, что показатель преломления вещества зависит от частоты (или от длины волны)фазовая скорость зависит от частоты:.

Нормальная дисперсия: ,.

Аномальная дисперсия: ,.

РИС.26-2

2. Электронная плазма

, где,- собственная частота колебаний всего коллектива электронов как целого.

Фазовая скорость в плазме: .

Групповая скорость в плазме:

.

Отсюда: .

Связь между групповой и фазовой скоростями

.

С учетом ,:

-формула Релея.

Если имеется среда с нормальной дисперсией, то есть , то.

Если среда с аномальной дисперсией, то , то.

Аномальная дисперсия наблюдается только в области сильного поглощения, где электромагнитная волна распространяется на расстояние порядка и понятиестановится бессмысленным.

Замечания

1. Всегда в эксперименте определяется . Фазовая скоростьнепосредственно не измеряется и определяется как.

2. Полезная формула: .

Стоячие электромагнитные волны

РИС.26-3

В свободной волне исинфазны.

Ранее мы получали решение волнового уравнения в виде двух плоских волн, распространяющихся навстречу друг другу:

(первое слагаемое – распространение волны в положительное направление, второе – в отрицательное направление). Реально такие волны возникают в результате отражений электромагнитных волн от границ той области, в которой они распространяются.

РИС.26-3

Падающая волна: .

Отраженная волна: необходимым условием отражения является изменение фазыилина.

Если , то меняется фаза(как на рисунке), асинфазны.

Определим величину вектора , получающегося в результате взаимодействия падающей и отраженной волн:.

,

,

.

;

(если, то появляется еще множитель).

При отражении от оптически более плотной среды возникает стоячая волна:

;.

Это стоячие волны. Фазы исдвинуты на.

РИС.26-4

Вектор Пойнтинга обращается в нуль каждую . Переноса энергии в стоячей волне нет.

Проверка справедливости развитых представлений была осуществлена:

для метровых волн Г. Герцем, для световых волн О. Винером в 1892 г. – исследования стоячих световых волн в толстослойных фотопластинках.

Измерение скорости света с помощью стоячих волн

Стоячие электромагнитные волны:

,

.

РИС.26-5

;задается генератором и измеряется с высокой точностью,измеряется в волноводе, расчет дает.

Исследования стоячих световых волн в толстослойных фотопластинках(О. Винер,1892 г.)

5000Å/510^-4=510^-5см/510^-4=10^-1см~1мм – наблюдаемая величина.

Первое почернение – на , то есть ответственным за фотохимическое действие является вектор.

Объяснение:

Электромагнитное поле воздействует на заряды: ; так как, то второй член, как правило, пренебрежимо мал.

РИС.26-6

Цветная фотография по способу Г. Липпмана(Нобелевская премия 1908 г.).

Устанавливаются стоячие волны, слоисоответствующего цвета. Если осветить пластинку белым светом, то в отраженном свете будут присутствовать волны с длиной волны, соответствующей решетке в данном месте.

РИС.26-7

Отражение и преломление электромагнитных волн на границах раздела

В однородной среде () электромагнитные волны распространяются прямолинейно и не затухают, если электропроводность. При наличии неоднородностей электромагнитная волна отражается, преломляется, рассеивается.

Простейший случай: резкая граница раздела двух диэлектриков (заряд на поверхности, ток по поверхности равны нулю). Нормальное падение.

РИС.26-8

Условие на границе раздела: ,.

Падает на границу плоско поляризованная монохроматическая волна:

,

,

.

Падающая волна:,

,

.

Отраженная волна:,

,

.

Преломленная (прошедшая) волна:,

,

.

Из условия непрерывности тангенциальных компонент на границе раздела следует:

- сюда подставляем выражения для волн.

Получаем:

;

.

Полученная система должна удовлетворяться при любых , в том числе при.

Отсюда:

;

.

Сокращая на - поскольку система должна удовлетворяться во все моменты времени, имеем:

.

Делим (2) на (1):

.

Отсюда легко вычислить связь амплитуд отраженной и падающей волн:

,

,

 Фазовые соотношения:{signзнак}.

Амплитудный коэффициент отражения:

.

Энергетический коэффициент отраженияравен отношению среднего потока энергии в отраженной волне к среднему потоку энергии в падающей волне:

.

На опыте измеряется энергетический коэффициент отражения, поскольку все приемники реагируют на интенсивность волны, то есть на квадрат ее амплитуды.

Примеры:

1) Стекло-воздух: ;.

2) Германий-воздух: ;.

1930. при(металлы).

²⁷Прошедшая (преломленная) волна

Берем все ту же систему уравнений:

.

Делим второе уравнение на :

(2).

Складываем второе с первым:

,

.

Амплитудный коэффициент прозрачности:

 Фазовые соотношения:ивсегда синфазны.

Энергетический коэффициент прозрачностиравен отношению среднего потока энергии в прошедшей волне к среднему потоку энергии в падающей волне:

.

Соотношение между коэффициентами

Из закона сохранения энергии:

.

Поделив правую и левую части на среднее значение энергии в падающей волне , имеем:.

Проверим:

.

Измерения коэффициентов отражения и прозрачности

Абсолютные:

РИС.27-1

Относительные:

РИС.27-2

О просветлении оптики

При отражении от двух границ стекло-воздух теряется чуть меньше 8% энергии.

РИС.27-3

В объективах высокого разрешения имеется 6-10 различных оптических стекол (у которых показатель преломления ), так что потери энергии делаются очень заметными (~70%).

Чтобы уменьшить потери энергии применяется просветление оптики.

РИС.27-4

: гашение волн, отраженных от передней и задней стенок пленки с.

В простейшем варианте (одна просветляющая пленка) эффект максимален, если:

; так как(воздух), то; толщина пленки,- длина волны в просветляющей пленке.

Если , то отражение возрастает. Способ применяется для изготовления зеркал с селективным отражением.

РИС.27-5

Просветляющие покрытия делают многослойными или даже с заданной функциональной зависимостью , чтобы получить равномерно низкий коэффициент отражения в широкой области спектра и не только при нормальном падении.

Наклонное падение света на границу двух диэлектриков

РИС.27-6

Задача №1– об углах отражения и преломления:

Плоская электромагнитная волна падает на границу раздела двух диэлектриков.

Падает волна по произвольному направлению , определяемому направляющими угламимеждуи осямисоответственно.

(здесь ,,).

Здесь всюду (и впоследствии) мы подразумеваем .

РИС.27-6

Теперь, пользуясь этим общим выражением, запишем падающую волну. Пусть она распространяется так, что (т.е. луч света лежит в плоскости):

.

На направления распространения отраженной и преломленной (прошедшей) волн никаких ограничений не накладывается.

,

.

На границе – равенство тангенциальных компонент поля: ;

.

Частота на границе не меняется, ;

.

Граница помещена на плоскость , уравнение упрощается:

.

Данное тождество выполняется при следующих условиях:

1930. Сумма двух периодических функций (экспонент) будет периодической функцией (экспонентой) лишь в том случае, если аргумент однороден, то есть:

.

Первый вывод: векторы распространенияитоже лежат в плоскости.

2)Второй вывод:.

А); по физическому смыслу – угол падения равен «минус» углу отражения ;

б).

Возвращаясь от направляющих углов к углам (на Рис. 27.6),и замечая, что

,дополняютдо, т.е., получаем:

- вывел Снеллиус (1580-1626), профессор математики Лейденского университета.

Итак, исходя из граничных условий для ив уравнениях Максвелла, мы получили основные законы геометрической оптики:

- угол падения равен углу отражения;- закон Снеллиуса.

²⁸Формулы Френеля

Интенсивность отраженной и преломленной волн

РИС.28-1

Способ обобщения полученных результатов:

-если фазы колебаний не скоррелированы (случайны), то ;

-если фазы скоррелированы (постоянная разность фаз), то .

А. Свет поляризован в плоскости падения.

Записываем условие равенства тангенциальных компонент на границе раздела:

,

.

Поскольку эти условия должны выполняться в любой момент времени и при любом положении границы раздела, то можно экспоненты не записывать и пользоваться выражениями для амплитуд:

,

.

Делим второе уравнение на первое:

,

,

,

.

Переписываем эту формулу со знаком - поляризация в плоскости падения:

1930. 

(здесь учтено, что ).

Ищем амплитуду преломленной волны. Для этого складываем первое и второе уравнения:

.

1930. .

Б. Поляризация поперек плоскости падения

Те же граничные условия переписываем для этой поляризации:

,

.

Поделив второе уравнение на первое, находим соотношение амплитуд падающей и отраженной волн:

,

,

,

1930. .

Складывая первое и второе уравнения, получаем связь между амплитудами падающей и преломленной волн:

.

(4) .

Получили формулы Френеля – амплитудные коэффициенты отражения и прозрачности, выраженные через угол падения и свойства границы раздела.

При формулы Френеля переходят в известные соотношения для отражения и прохождения при нормальном падении.

Случай, когда плоскость поляризации составляет угол с плоскостью падения:

.РИС.28-2

Угловая зависимость отражения электромагнитных волн

Энергетические коэффициенты отражения:

;.

Особенности отражения волны, поляризованной в плоскости падения

РИС.28-3

При выполнении условия , так как

в .

При этом - некоторое конечное число, то есть волна споляризацией отражается почти по-прежнему.

Коэффициент отражения электромагнитной волны, поляризованной в плоскости падения, обращается в нуль, когда .

При отражении естественного (то есть неполяризованного света) – в отраженной волне остается только составляющая с поляризацией.

РИС.28-4

Определим этот характерный угол падения:

; из закона преломления.

Угол падения, при котором электромагнитная волна, поляризованная в плоскости падения, не отражается, называетсяуглом Брюстера.

.

РИС.28-5

Угловая зависимость коэффициента отражения:

РИС.28-6

- отражение при нормальном падении от поляризации не зависит,- при скользящем падении коэффициент отражения равен 100% и не зависит от поляризации.

Мы вывели соотношения между амплитудами отраженных и преломленных волн в зависимости от свойств границы раздела и от угла падения света. При этом выяснилось, что для электромагнитных волн, поляризованных в плоскости падения, энергетический коэффициент отражения обращается в нуль при некотором характерном угле падения, называемом углом Брюстера: .

Это явление можно использовать для создания поляризованной электромагнитной волны.

РИС.28-7

Черное стекло, чтобы отражение от второй границы не искажало ситуацию.

- интенсивность света, прошедшего анализатор.

Степень поляризации: .

Для плоско (линейно) поляризованных электромагнитных волн , то есть, тогда как для естественной (неполяризованной) волны.

Поляризация при преломлении

Энергетический коэффициент прозрачности=

=

.

Подставляя в выражение для круглых скобок 2 формулу Френеля, находим:

=

.

=

.

Во-первых, можно убедиться в справедливости закона сохранения энергии:

Доказывается простой подстановкой.

Во-вторых, можно убедиться в том, что свет, поляризованный в плоскости падения несколько лучше проходит через границу раздела, чем свет с перпендикулярной поляризацией. (Поскольку при падении под углом Брюстера, то куда деваться электромагнитной волне с такой поляризацией, чтобы обеспечить закон сохранения энергии? Только проходить!)

.

Из формулы видно, что во всех случаях, кроме нормального падения (когда и,и.

Прохождение через одну пластинку (две границы раздела)

Рассмотрим соотношение интенсивностей волн различной поляризации.

;

,;

,

,,

=

{с учетом }

=.

Если ввести относительный показатель преломления , то

;.

Реальные числа: «стекло-воздух», ;

.

Приходится брать до десятка пластинок, чтобы получить эффективную поляризацию (большие потери на отражение!). Лучше, когда большой показатель преломления – например, «германий-воздух»: .

.

Интенсивность -поляризованной волны составляет 5% интенсивности-поляризованной волны.

Фазовые соотношения между падающей и отраженной волнами

Определяются знаком тригонометрических функций в формулах Френеля.

1930. .

А.

При нормальном падении (или при почти нормальном падении) , то есть отражение происходит с изменением фазы на.

При увеличении угла падения – два частных случая:

а) , отраженная и падающая волна противофазны;

б), числитель, знаменатель, отраженная и падающая волны синфазны.

РИС.28-8

Б..

При переходе в оптически более плотную среду, ,, числитель и знаменатель, поэтому разность фаз, отраженная и падающая волны противофазны.

РИС.28-9

II. Переход из оптически более плотной среды в оптически менее плотную,.

.

Пока , отражение происходит без изменения фазы,

- волны противофазны.

РИС.28-10

Сложение двух электромагнитных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях

Рассмотрим результат сложения двух электромагнитных волн, поляризованных вовзаимно перпендикулярныхнаправлениях и имеющих разную амплитуду и фиксированный сдвиг фаз.

Какова будет траектория конца вектора, проекции которого меняются по такому закону?

РИС.28-11

,

,

.

Отсюда:

.

Возводим в квадрат и складываем:

Последнее выражение и есть уравнение эллипса. Его форма и ориентация относительно осей изависят от амплитуд,и разности фаз. Это все характеризует границу раздела.

Рассмотрим несколько частных случаев, чтобы лучше представить себе, как возникает эллиптическая поляризация (дополнительный материал).

А., или разность хода волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях,.

РИС.28-12

Подставляя в полученное выше уравнение , находим:

.

Если, то эллипс превращается в окружность (циркулярная поляризация).