Рекомендации по выполнению заданий

Рекомендации по выполнению задания Д-1

1. Приступая к решению задачи, следует повторить материал, относящийся к теме «Дифференциальные уравнения движения материальной точки», в том числе ознакомиться с примерами решения задач динамики точки в учебнике. В учебнике же достаточно детально описан порядок и особенности решения задач динамики точки.

2. В предложенной задаче решение осуществляется в два этапа: на первом исследуется прямолинейное движение тела, принимаемого за материальную точку, с определением ее скорости в конце участка; на втором участке исследуется свободное движение точки в сопротивляющейся среде (эта задача отдельным параграфом представлена в учебнике).

3. Некоторые особенности имеет решение части задачи, связанной с определением точки удара тела о преграду и его скорости в этот момент времени. Однако данная задача в кинематической постановке уже предлагалась в задании К-1-1.

Здесь, используя полученные уравнения движения точки, определяем гипотетическое время достижения телом стенки, когда х = D, и дна, когда у = H. Время (t₂ или t₃) при этом вычисляется приближенно графическим способом. Одно из этих событий наступает раньше, оно и является реальным моментом удара тела о преграду. Далее определяется с необходимой точностью вторая координата точки встречи (y₂ или x₃).

Далее определяем 10−15 координат точки в различные моменты времени до достижения точкой соответствующей из преград, и строим по точкам траекторию. Находим проекции скорости тела в момент удара, а также величину и направление этой скорости в момент удара тела о преграду.

Рекомендации по выполнению задания Д-2

1. Решению задачи должно предшествовать повторение вопросов, связанных с понятием работы силы и кинетической энергии механической системы и твердого тела, а также ознакомление в учебнике с примерами решения задач динамики с помощью теоремы об изменении кинетической энергии.

2. В задаче для ответа на первый и второй вопросы предлагается использовать теорему об изменении кинетической энергии для неизменяемой системы

.

3. При определении максимального растяжения пружины учитываем, что кинетическая энергия в начальном и конечном положении механической системы равна нулю. Следовательно, необходимо лишь найти работу всех внешних сил на перемещении из начального положения в положение, где перемещение тела 1 будет максимальным.

Реальное перемещение системы при этом происходит в определенную сторону и обусловлено действующими на механическую систему силами. При решении задачи направление перемещения системы следует взять предположительно, исходя, например, из здравого смысла. Если значение максимального отклонения тела 1 при решении окажется отрицательным, то следует рассмотреть перемещение системы в другом направлении. При определении работы сил необходимо перемещения всех точек приложения сил или поворотов тел выразить через одно – максимальное перемещение тела 1.

Определение максимального перемещения тела 1 из уравнения, полученного при нахождении работ, в вариантах со схемами 5, 7 и 8 следует произвести приближенно, графически, например.

5. При определении кинетической энергии тел используем формулы, соответствующие виду движения каждого тела. Чтобы решить задачу, необходимо выразить также скорости точек и тел и угловые скорости тел через скорость тела 1 (или угловую скорость тела 1 при его вращении). В вариантах со схемами 5 и 7 при этом придется прибегать к теореме о сложении скоростей, рассмотренной в кинематике.

6. Работа сил во второй части задачи ищется аналогично тому, как это сделано в первой части. Следует учесть, однако, что перемещения точек приложения некоторых сил (варианты со схемами 5, 7, 8) уменьшатся при этом не в два раза, как это принимается для тела 1, а иначе, поэтому их будет необходимо определить.

Рекомендации по выполнению задания Д-3

1. Решению задачи должно предшествовать повторение тем «Принцип Даламбера», «Принцип возможных перемещений» и «Общее уравнение динамики», а также ознакомление в учебнике с примерами решения задач динамики с помощью общего уравнения динамики.

2. Трактуя метод решения задачи как последовательное применение двух принципов – принципа Даламбера и принципа возможных перемещений, далее следуем этому порядку.

Изобразив систему тел в произвольном положении, указываем сначала все активные силы (силы тяжести, силу упругости пружины, в некоторых вариантах – вращающий момент) и реакции неидеальных связей. Далее формально уравновешиваем систему тел, прикладывая к движущимся телам силы инерции, соответствующие их виду движения, т. е. определяем величину и направление главного вектора и главного момента сил инерции для каждого движущегося тела. Используя знания кинематики, выражаем все главные векторы и главные моменты сил инерции через ускорение (угловое ускорение) тела 1, и отображаем их на рабочем рисунке.

3. Задаем механической системе возможное перемещение, сдвинув тело 1 на бесконечно малую величину δs₁ или δφ₁. Указываем на рисунке также возможные перемещения всех других тел и устанавливаем связь между этими перемещениями и перемещением тела 1.

4. Применяем общее уравнение динамики

,

находя на заданном возможном перемещении системы работу активных сил, реакций неидеальных связей и главных векторов и главных моментов сил инерции, приложенных к движущимся телам.

Подставив в полученное выражение значения всех активных сил и сил инерции, а также значения возможных перемещений всех тел и точек приложения сил, получаем дифференциальное уравнение движения механической системы.

Рекомендации по выполнению задания Д-4

1. Решению задачи должно предшествовать повторение темы «Уравнения Лагранжа второго рода», в том числе ознакомление в учебнике с примерами решения задач динамики с помощью этого метода.

2. При решении задачи целесообразно следовать порядку решения задачи, который представлен в учебнике.

3. В задаче механическая система имеет одну степень свободы, а обобщенная координата определена условием задачи (s₁ или φ₁).

4. Записываем уравнение Лагранжа.

5. Изображаем механическую систему в произвольном положении и находим ее кинетическую энергию, которую выражаем через обобщенную скорость и обобщенную координату. Чтобы это сделать, придется скорости и угловые скорости тел выразить либо через скорость поступательно движущегося тела 1 (схемы 5, 6, 7, 8), либо через угловую скорость тела 1 (схемы 1, 2, 3, 4).

6. Определяем все производные, входящие в уравнение Лагранжа.

7. Указываем на рабочем рисунке все активные силы и реакции неидеальных связей.

8. Задаем системе возможное перемещение так, чтобы приращение обобщенной координаты (δs₁ или δφ₁) было положительным. Возможные перемещения других тел и точек выражаем через приращение обобщенной координаты.

Находим обобщенную силу по формуле .

Можно использовать и другой способ определения обобщенной силы.

9. Значение производных и обобщенную силу подставляем в уравнение Лагранжа и получаем дифференциальное уравнение движения механической системы.