UMK11

Решение. Представим z = −8 в тригонометрической форме (2.6), для че-

го

найдем

модуль

и

главное

значение

аргумента

z

=

− 8

= 8 ,

ϕ0

= argz = arg(−8)= π.

Имеем z = −8 = 8(cosπ + i sin π).

Применяя формулу (2.10), находим 3 значения корня,

содержащихся в

формуле Wk

π + 2kπ

+ isin

π + 2kπ

где k = 0,1, 2 . Воспользо-

= 3 8 cos

9

,

3

вавшись показательной и тригонометрической формами числа (2.6), (2.12), получаем

	i π		π	π
						= 1 + i 3 ,
	при k = 0 w 0 = 2e 3	= 2 cos	3	+ i sin
				3

при k = 1

w1

= 2eiπ = 2(cos π + i sin π) = −2 ,

i

5

π

5π

5π

при k = 2

w 2

=

2e 2

= 2 cos

+ i sin

= 1 − i 3 .

3

3

Точки w 0 , w1 , w 2

образуют вершины правильного треугольника, впи-

санного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 2.3).

Y

Y

i π

i

9π

2 = e

w

8

w0 = 2e 3

i

5π

w1 = e 8

w1 = 2eiπ

0

X

0

X

5π

i

π

13

w

= 2ei 3

w0 = e

8

i

π

2

w3

8

= e

Рис. 2.3

Рис. 2.4

ПРИМЕР 2.8. Решить двучленное уравнение

w 4 − i = 0.

Решение.

Нахождение всех корней уравнения сводится к задаче: найти

все значения корня 4 i . Для чего запишем число

i = ei

π

ϕ

0 +2 kπ

2 и применим формулу (2.16) w k

= 4

ei

1

4

π

При k = 0

w 0

= ei 8 , откуда следует, что

w 0

i π

5

w 0

+2π

i

π

w1

При k = 1

= e 4 2

= e 8

, откуда

iв показательной форме

,где k = 0,1,2,3, ϕ0 = π

2

= 1, arg w 0 = π . 8

= 1, arg w1 = 5 π. 8

i π

9

9

+4 π

i

π

При k = 2

w 2

= e 4 2

= e 8

w 2

= 1, arg w 2

=

π

i π

13

8

13

+6π

i

π

При k = 3

w 3

= e 4 2

= e 8

w 3

= 1, arg w 3

=

π.

8

Как видно из рис. 2.4, точки w 0 , w1 , w 2 , w 3 комплексной плоскости лежат в вершинах квадрата (на окружности радиуса r = 1 с центром в начале координат).

2.2. МНОЖЕСТВО ТОЧЕК, ЛИНИИ, ОБЛАСТИ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Линии и области на комплексной плоскости мы рассматриваем как множество точек z, обладающих определенными свойствами, изученными в действительном анализе. Аналитически линии и области задаются как множество чисел z, удовлетворяющих определенным уравнениям или системе уравнений, неравенствами или системе неравенств.

Параметрические уравнения кривой в действительных переменных: x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β

в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением
z = z(t) = x(t)+ i y(t), α ≤ t ≤ β,	(2.17)

которое называется комплексно-параметрическим или уравнением кривой в

комплексной форме.
Если кривая задана				в действительных переменных в				неявном виде
F(x, y) = 0 , то путем подстановки в это уравнение выражений
x =	z +	z	,	y =	z −	z		(2.18)
					2 i
2

получим уравнение кривой в комплексных переменных.

При решении задач по определению и изображению линии и областей в комплексной плоскости следует помнить геометрический смысл модуля разно-

сти двух комплексных чисел z1 − z2 (см. ПРИМЕР 2.3). Рассматривая z1 − z2 как расстояние между двумя точками z1 и z2 плоскости, достаточно легко задавать аналитически линии и области.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.9. Написать в комплексной форме уравнение кривой l: x = t, y = 3t 2 , − ∞ < t < ∞

Решение. 1-й способ. Согласно (2.17) имеем комплекснопараметрическую форму кривой z(t) = t + 3t 2 i .

2-й способ. Легко видеть, что данная кривая - парабола y = 3x2 . Перейдем в этом уравнении к комплексному переменному, воспользовавшись форму-

	z −	z	z +		z		2
лами (2.2),			= 3				откуда получаем
	2i
				2

3z2 + 6z z + 3z 2 + 2z i − 2z i = 0 .

ПРИМЕР 2.10. Написать уравнение окружности в комплексной форме. Решение. 1-й способ. Рассмотрим окружность как множество точек z,

равноудаленных на расстояние r от центра z0 = x0 + i y0 . Тогда имеем

z − z0 = r .

2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиуса r центром в точке M 0 (x0 , y0 ) имеют вид:

x − x0 = r cos t,	y − y0 = r sin t, где − π < t ≤ π .
Следовательно,	z(t) = x0 + r cos t + i(y0 + r sin t), − π < t ≤ π . Если

воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное

уравнение можно записать в виде					z(t) = z0	+ r ei t , − π < t ≤ π .
		ПРИМЕР 2.11. Написать уравнение эллипса с фокусами в точках z1							и z2 ,
большая ось которого равна 2a .						r1 + r2 = 2a , где r1 =		z − z1
		Решение. По определению эллипса,									и
r2 =		z − z 2		− расстояния произвольной точки z эллипса до фокусов				z1	и z2

соответственно рис. 2.5. Следовательно, уравнение эллипса в комплексной

форме

имеет

вид

z − z1

+

z − z2

= 2a .

Расстояние

между

фокусами:

2 c =

z1 − z2

, а малая

полуось

по известным a

и c определяется из форму-

лы b =

.

a 2 − c2

ПРИМЕР

2.12.

Выяснить

геометрический

смысл

уравнения

z − z1

=

z − z2

.

Решение.

1-й способ (геометрический). В данном случае {z} − множе-

ство точек, равноудаленных от точек z1 и z2 . Очевидно, это есть прямая L,

перпендикулярная отрезку [z1 , z2 ] и проходящая через его середину (рис. 2.6). 2-й способ (аналитический). Пусть z = x + i y , z1 = x1 + i y1 ,

z 2 = x1 + i y2 , тогда

z − z1 = (x − x1 ) + i(y − y1 ) z − z 2 = (x − x 2 ) + i(y − y2 )

z − z1 = (x − x1 )2 +(y − y1 )2 , z − z 2 = (x − x 2 )2 +(y − y2 )2 .

Поскольку левые части последних соотношений равны, то равны и их правые части, т.е. (x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (x − x 2 )2 + (y − y2 )2 . После упрощения получаем уравнение прямой линии.

Y

Y

z2

z2

z1

z1

0

z

X

0

X

L

Рис. 2.5

Рис. 2.6

1

=

1

ПРИМЕР 2.13. Какая кривая определяется уравнением Re

?

4

z

Решение.

Пусть z = x + i y . Тогда

1

=

z

=

x − i y

. Следовательно,

z

z

x2 + y2

z

1

=

x

x

=

1

2

+ y

2

− 4x

= 0.

Re

. По условию

или x

Откуда

x2

+ y2

x2 + y2

4

z

следует, что данное условие определяет окружность (x − 2)2

+ y2

= 4 .

ПРИМЕР 2.14. Определить, какое множество точек удовлетворяет усло-

вию 0 ≤ Im z ≤ 1.

Решение.

Так как, по определению, Im z = y,

то данное условие может

быть записано в виде: 0 ≤ y ≤ 1. Следовательно, искомое множество точек - точки полосы между прямыми y = 0 и y = 1, включая эти прямые (рис. 2.7). Данное множество является областью, причем открытой, неограниченной.

ПРИМЕР 2.15. Построить на комплексной плоскости области, заданные условиями:

а) 4 £ z + 1 + z - 1 £ 5; б) 1 < z < 2, 0 ≤ arg z < π . 4

Решение. а) Искомое множество точек удовлетворяет двум условиям: z + 1 + z - 1 ³ 4 и z + 1 + z - 1 £ 5 . Первое условие определяет внешность эллипса с фокусами z1 = −1 и z2 = 1, для которого 2a = 4, 2c = z1 − z2 ,

b =

=

(уравнение

4 − 1

3

эллипса в

действительных переменных:

x 2

+

y2

= 1). Второе уравнение -

внутренность эллипса с фокусами в тех же

4

3

точках с полуосями a1 =

5

и b1 =

25

− 1 =

21

(уравнение эллипса в дей-

2

2

4

ствительных переменных:

x2

+

y2

= 1). Искомая область - часть плоско-

25 4

21 4

сти, заключенная между двумя эллипсами (рис. 2.8), включая сами эллипсы. Область замкнутая, ограниченная.

Y

Y

z

z + 1

+

z − 1

= 4

z + 1

+

z − 1

= 5

Im z = 1

− 2

−

1

1

2 5

Im z = 0

X

0

X

2

Рис. 2.7

Рис. 2.8

б) Легко видеть,

что множество точек,

удовлетворяющих

условию

1 <

z

< 2 ,

есть внутренность кольца, ограниченного окружностями

z

= 1 и

z = 2 с центрами в начале координат и радиусами 1 и 2 . Система неравенств

0 ≤ arg < π определяет множество точек, составляющих угол между лучами

4

ϕ = 0 и ϕ = π , причем точки первого луча принадлежат области, а второго -

4

нет.

Пересечение указанных областей определяет искомую область D , которая изображена на рис. 2.9.

ПРИМЕР 2.16. Какое множество точек комплексной плоскости определя-

ется условием		Im	z	2 < −1 ?
	Решение.		Пусть		z = x + i y .		Тогда		z	= x − i y	и
z	2 = x2 − y2 + i(− 2xy).				Следовательно,	Im	z	2 = −2xy .		По условию

− 2xy < −1 или xy > 1 . Полученное неравенство определяет множество то-

2

чек, изображенных на рис. 2.10.

Y										Y
					arg z = π
										4
		D			z		= 2
0		1		2						X
					z				= 1	0	X

Рис. 2.9

Рис. 2.10

2.3. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

Говорят, что на множестве D точек плоскости z задана функция w = f(z) , если каждой точке z D поставлено в соответствие одно (одно-

значная функция) или несколько (многозначная функция) значений комплексного переменного w G . Мы будем рассматривать только такие функции, для которых множества D и G являются областями, причем D называется обла-

стью определения, а G − областью значений функции w = f(z) .

Задание функции комплексного переменного w = f(z) равносильно за-

данию двух функций действительных переменных u = u(x, y),v = v(x, y):

	w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) ,	(2.19)
где u = Re w,	v = Im w .

Нахождение функций u = u(x, y) и v = v(x, y) называется выделением

действительной и мнимой частей функции w . Это позволяет свести изуче-

ние функции комплексного переменного к изучению двух функций действительных переменных.

Геометрически заданную на D однозначную функцию w = f(z) можно рас-

сматривать как отображение точек области D плоскости z в некоторую область G плоскости w . В этом отображении и проявляются свойства функции w = f(z) (рис. 2.11).

		Y					v
				l
	D					• f (z)
			• z
		0		X			0	u
					Рис. 2.11
Точки z, линии l z ,				области	Dz называют прообразами точек w = f(z) ,
линий Lw	и областей G w соответственно, а					w, Lw , G w называют образами
при отображении w = f(z) .
Если в плоскости z кривая l z задана неявным уравнением F(x, y) = 0 ,
то для того, чтобы найти уравнение ее образа Lw							Φ(u, v) = 0 в плоскости w
при отображении, осуществляемом функцией						w = f (z) = u + i v,			достаточно
				u = u(x, y)
исключить x и y из уравнений v = v(x, y) .
				F(x, y) = 0					x = x(t)
	кривая l z
Если				задана	параметрически уравнениями
или z(t) = x(t) + i y(t),				α ≤ t ≤ β, то можно					y = y(t)
							получить	параметрические

уравнения Lw , представив действительную и мнимую части w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) как функции параметра t :

u = u(x(t), y(t)) = U(t) v = v(x(t), y(t)) = V(t)

Комплексное число W0 называется пределом функции					w = f(z) при
z → z0 , если для любого ε > 0	найдется δ > 0 такое, что для всех z ≠ z0 ,
удовлетворяющих неравенству		z − z0		< δ , выполняется	неравенство

f(z) −w 0 < ε , причем z → z0 по любому пути из δ − окрестности точки z0 .

В этом случае пишут lim f(z) = w .

z→z0 0

	Существование lim f (z),		где f(z) = u(x, y)+ i v(x, y), z0 = x0			+ i y0 ,
		z→z0
равносильно существованию			lim u(x, y)	и	lim v(x, y),	причем
			x→x0		x→x0
			y→y0		y→y0
lim f (z) = lim u(x, y)+ i lim v(x, y).
z→z0	x→x0	x→x0
	y→y0	y→y0
	Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0 , если она опре-
делена в точке z0 и ее окрестности и lim f (z) = f (z0 ),					где f(z0 )− конечное
			z→z0
комплексное число.
	Функция, непрерывная в каждой точке области D ,				называется непрерыв-
ной в этой области.
	Для того,	чтобы функция f (z)= u(x, y)+ i v(x, y) была непрерывна в
точке	z0 = x0	+ iy 0 , необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и
мнимая части были непрерывными функциями в точке (x0 , y0 ).

Отметим, что как правила действий с пределами функций в действительном анализе, так и правила действия с непрерывными функциями действительного переменного сохраняются для пределов и для действий с непрерывными функциями комплексного переменного.

Приведем некоторые элементарные функции комплексного переменного.

10 . Дробно-рациональная функция

w =	a	0	z n + a		z n−1	+K+a	n	, n, m N
				1					(2.20)
	b0 z m + b1 z m−1 +K+b m
в частности, рациональная				w = a 0 z n + a1 z n−1 +K+a n .
20 . Показательная функция
ez = ex (cos y + i sin y),									(2.21)

которая в отличие от функции действительного переменного является периоди-

ческой функцией с периодом 2π i , т.е. ez+2 kπi							= ez (k = 0,±1,±2,K).
30 . Тригонометрические функции
		ei z + e		−i z			ei z − e− i z
cosz =					, sin z =				,	(2.22)
		2
							2i
tgz =	sin z		,		ctg z =		cos z	.		(2.23)
	cosz						sin z

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. В отличие от тригонометрических функций действительного аргумента модули функции sin z и cosz могут быть больше 1.

40 . Гиперболические функции
ch z =		e z + e− z		, sh z =	e z − e− z			,	(2.24)
	2				2
thz =	sh z		,	cth z =		ch z	.		(2.25)
	ch z					sh z

Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следующими соотношениями

	sin z = −i sh iz,	sh z = −i sin iz
	cosz = ch iz,	ch z = cosiz					(2.26)
	tg z = −i th iz,	th z = −i tg iz
	ctg z = i cth iz,	cth z = i ctg iz
	50 . Логарифмическая функция
	Ln z = ln			z		+ i(arg z + 2kπ), k = 0,±1,±2,K	(2.27)

Из (2.27) видно, что логарифмическая функция - функция многозначная; ее значения для данного значения z отличаются друг от друга на число 2kπ i . Значение логарифма, соответствующее k = 0 , называется главным и обозначается

ln z = ln		z		+ i arg z.	(2.28)
Логарифмическая функция комплексного переменного обладает извест-
ными свойствами логарифма действительного переменного.
60 . Обобщенные степенная и показательная функции
za = ea Lnz ,					(2.29)
где a − любое комплексное число;
a z = ezLna ,					(2.30)
где a = α + i β ≠ 0 .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.17. Выделить действительную и мнимую части функции w = ez2 .

Решение. Пусть z = x + i y . Тогда, по определению показательной функ-

ции (2.2), имеем ez2 = e(x2 −y2 )+i 2 xy = ex2 −y2 (cos 2xy + i sin 2xy).								Откуда
Re w = ex2 −y2	cos2xy,				Im w = ex2 −y2	sin 2xy .	w = sin z
ПРИМЕР		2.18.			Найти значение функции			в точке
z0 = π + i ln(2 +				),			z0 при отображении
			5		иначе говоря, найти образ точки
w = sin z.

= sinz0

= sin[π + iln(2 +

)]= |по формуле приведения

Решение.

w 0

5

и по формуле (2.26)| = i sh ln(2 +

)=

5

1

(2 +

)2

e−ln (2+

) − e

−ln (2+

)

2 +

5 −

−1

5

5

2 +

5

5

=

i =

i =

(

)

i = 2i ,

w 0

= 2 .

2

2

2 2 + 5

Этот пример показывает, что функция w = sin z в комплексной области

может принимать значения, большие единицы по модулю.

ПРИМЕР 2.19. Найти корни уравнения

cosz = 2

и изобразить их на

плоскости.

w = cos z ,

Решение.

По

определению

функции

из (2.24)

имеем

ei z + e

−i z

2 i z

i z

= 2 , откуда

e

−

4 e

+ 1 = 0. Полученное квадратное уравнение

2

относительно ei z имеет корни ei z = 2 ± 3. Следовательно, в силу определения логарифмической функции (2.27) с учетом (2.28) получаем

i z = ln 2 ± 3 + i arg(2 ± 3)+ i 2πk = ln(2 ± 3)+ i 2πk, k = 0,±1,±2,K. Отсюда определяем z: zk = 2πk − i ln(2 ± 3), k = 0,±1,±2,K. Итак, получены две серии корней

z(k1)

= 2πk − i ln(2 +

), z(k2) = 2πk − i ln(2 −

), ( k = 0,±1,±2,K).

3

3

Учитывая, что ln(2 −

)

= ln

4 − 3

= − ln(2 +

), вторая серия корней

3

3

2 + 3

z(k2)

перепишется в виде z(k2 )

= 2πk + i ln(2 +

).

3

Таким образом, корнями данного уравнения являются точки, расположенные на прямых, параллельных действительной оси OX и отстоящих от нее

на расстоянии ln(2 + 3) (рис. 2.12).При изображении чисел учтено, что

Y

z(−21)

z(02)

z1(2)

z(22)

z3(2)

ln(2 +

)

3

π

π

6

0

2

π

4

− 2π

X

(1)

z

(1)

1

z(21)

z3(1)

z−1

0

z1( )

Рис. 2.12