UMK11
.pdfАналогично
L(eα t ) = |
+∞ |
|
|
|
|
|
+∞ |
−(p−a )t dt = |
Re (p − α)> 0 |
= |
|||||||
∫ e−p t eα t dt = |
∫ e |
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Re p > Re α |
|
||
= |
−1 |
|
e−(p−α) |
|
+∞ = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
p − α |
|
p − α |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
1(t) ≡ η(t)← |
1 |
; eα t ← |
|
|
|
; e−α t ← |
. |
(1.5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
p + α |
||||||||||||
|
|
p |
|
p − α |
|
|
|
|
|
Теорема 1.1. (Теорема единственности оригинала).
f |
|
|
|
|
|
(t)← F (p) |
|
|
|
1 |
|
то |
f1 (t) = f 2 (t) в точках непрерывности этих |
|
Если |
|
|
||
f |
|
|
|
|
2 |
(t)← F (p), |
|
|
|
|
|
|
|
|
оригиналов.
Эту теорему мы не доказываем.
Замечание. Полезно под рукой держать Таблицу изображений (ТИ),
которая помещена в конце следующего параграфа и на которую делается ссылка по мере необходимости и для сравнения.
1.2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОБРАЖЕНИЯХ. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ
|
|
(p), |
|
|
(p) и |
Теорема 1.2. (Свойство линейности). Если f1 |
(t)← F1 |
f 2 |
(t)← F2 |
||
|
|
|
|
|
|
k1 , k 2 − произвольные постоянные, то
k1 f1 (t) + k 2 f 2 (t)← k1 F1 (p) + k 2 F2 (p), т.е. линейной комбинации оригиналов
с постоянными коэффициентами соответствует такая же линейная комбинация их изображений.
Доказательство. По определению изображения имеем (см. (1.2))
+∞ |
−pt [k1 f1 (t) + k 2 f 2 |
+∞ |
−p t f1 |
+∞ |
−p t f 2 |
(t)dt = |
∫ e |
(t)]dt = k1 ∫ e |
(t)dt + k 2 ∫ e |
||||
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
= k1 F1 (p) + k 2 F2 (p). Что и требовалось доказать.
ПРИМЕР 1.4. Найти изображение функции f (t) = sin t [η(t − 2 π) + η(t − 3 π)].
Решение. f (t) = η(t − 2 π)sin t + η(t − 3 π)sin t =
= η(t − 2 π)sin (t − 2 π) − η(t − 3 π)sin (t − 3 π).
Теперь надо воспользоваться примером 1.1 и теоремой 1.3, что дает
|
|
|
e |
−2 π p |
|
|
|
e |
−3 π p |
|
e |
−2 π p |
(1 − e−π p ). |
||||||
f (t)← |
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p 2 + 1 p 2 + 1 p 2 + 1 |
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
e−2 π p |
|
|
(1 − e−π p ). |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.4. (Теорема смещения). Если f (t)← F (p), то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
eα t f (t)← F (p − α), |
|
|
|
(1.8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где α R либо α C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Доказательство. По определению |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
e−p t |
eα t |
|
|
|
|
+∞ |
e−(p−α) f (t)dt = F (p − α), если учесть, что |
||||
eα t f (t)← |
∫ |
|
|
f (t) = ∫ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в последнем интеграле роль p играет p − α. Теорема доказана. |
|||||||||||||||||||
Следствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e−α t |
|
|
|
|
|
|
+ α). |
|
|
|||||||||
|
f (t)← F (p |
(1.9) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.5. eβ t |
|
|
|
|
|
|
p − β |
||||||||||||
cos a t ← |
|
|
|
||||||||||||||||
(p − β)2 + a 2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eβ t sin a t ← |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
(p − β)2 + a 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Искомые изображения легко получаются, если принять во внимание пример 1.3 и только что доказанную теорему смещения изображения.
Теорема 1.5. (Дифференцирование оригинала).
Если f (t)← p F (p), то
|
|
f ′(t)← p F (p) − f (0), |
(1.10) |
где предполагается, что производная f ′(t) является оригиналом, т.е. чтобы
получить изображение производной оригинала надо изображение последнего умножить на p и от полученного произведения отнять f (0).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
e |
−p t |
= u, du = −e |
−p t |
p dt |
|
= |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Доказательство. f ′(t)← |
∫ e−p t f ′(t)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
du = f ′(t)dt, ϑ = f (t) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
(t) dt = p F (p) − f (0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= e−p t f (t) + p ∫ e−p t f |
|
если |
учесть, |
|
|
что |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim e−p t f (t) |
= 0 . |
Действительно, lim e−p t |
f (t) = 0 |
lim |
|
e−p t f (t) |
|
= 0 , |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
t→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→+∞ |
|
|
|
|
t→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
но согласно (1.1) |
|
e−p t f (t) |
|
= e−a t |
|
f (t) |
|
≤ M e −(a −σ)t → 0 при t → +∞ и |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Re p = a > σ . Этим теорема полностью доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Следствие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(p) − [p n −1 f (0) + p n −2 f ′(0) + p n−3 f ′′(0) + K + f (n−1) (0)], (1.11) |
|||||||||||||||||||||||||
f (n ) (t)← p n F |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где предполагается, что все производные до |
n −го |
порядка включительно |
|||||||||||||||||||||||||
являются оригиналами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Доказательство проводится методом полной математической индукции. |
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1.6. (Дифференцирование изображения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f (t)← F (p), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t n f (t)←(−1)n F(n ) (p) (−1)n t n f (t)← F(n ) (p) |
|
|
(1.12) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эту теорему мы принимаем без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Полагая в (1.12) f (t) = η(t) будет иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
t |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
← |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
|||||||
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
для любого натурального n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.7. (Интегрирование изображения). Если f (t)← F (p), то |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
← |
∫ F (p)dp , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
t |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где предполагается, что f (t) t − оригинал.
то есть, чтобы получить изображение интеграла от оригинала надо изображение последнего разделить на p .
ПРИМЕР 1.7. Найти оригинал для изображения |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p 2 (p −1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
η(t ), |
|
|
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
→e t |
|
|
|
|
→ ∫ e t |
d τ = e |
|
= e t |
−1. Еще раз |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p(p −1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
применяя (1.15), будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Tt |
(eτ −1) dτ = eτ |
|
|
t − t = e t −1 − t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ ∫ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p (p −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: e t |
−1 − t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
2 |
− p |
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
Проверка: e t −1 − t ← |
− |
− |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 p |
|
|
|
p |
2 |
|
( |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p −1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
−1 |
|
|||||||||
Замечание. |
|
Другой |
способ: |
|
разложение |
|
на |
элементарные дроби. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
p + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 (p −1) = p 2 (p 2 −1) = (p + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
|
p2 −1 − p 2 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
− η(t) − t η(t) = e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
− |
− |
|
→ e t |
|
− t −1. Получаем тот же самый |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p −1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
результат, как и должно быть.
|
|
|
|
|
|
|
|
(p), f 2 |
|
(p), то |
Теорема 1.9. (Теорема Бореля). Если f1 |
(t)← F1 |
(t)← F2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 (p)F2 |
|
(t) f |
|
(t) = f 2 |
(t) f1 |
(t), |
|
|
|
|
(p)→ f1 |
2 |
|
|
(1.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть произведению изображений соответствует свертка оригиналов, где по
определению
f1 (t) f 2 (t) = |
t |
t |
|
|
|
|
|
∫ f1 (τ) |
f 2 (t − τ)dτ = ∫ f 2 (τ)f1 (t − τ)dτ. |
|
|
(1.17) |
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Согласно (1.17) и (1.2) |
|
|
|
|
|||
τ |
τ = t |
||||||
f1 (t) f 2 (t)← |
∫ e−p t ∫ f1 (τ)f 2 (t − τ)dτ dt |
|
|
||||
|
+∞ |
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поменяем теперь в полученном двойном |
•0 |
|
|
||||
несобственном интеграле |
направление |
интегрирования |
t |
||||
(см. рис. 1.1), не приводя обоснование такой операции. |
|
|
Рис. 1.1 |
||||
|
|
|
|