UMK11
.pdfМножество решений уравнения |
|
sin ω = z , |
(1.49) |
где z известно, а ω − неизвестно, обозначается Arcsin z . Перейдем к его на-
хождению. Имеем z = |
ei ω - e |
−i ω |
ei ω - e−i ω = -2 i z = 0, |
||
|
|
|
, |
||
|
2 i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
e2i ω - 2 i z × ei ω -1 = 0. |
Полагая |
t = ei ω , получим t 2 |
t = i z ± 1 - z 2 , ei ω = i z ± 1 - z 2 .
Окончательно получаем
ω = Arcsin z = −i Ln (i z + 1 − z 2 ).
Точно так же найдем
ω = Arccos z = −i Ln (i z + |
|
|
|
). |
|||||||||||||||||||||
−1 + z 2 |
|||||||||||||||||||||||||
ω = Arc tg z = − |
i |
Ln |
1 + i z |
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 − i z |
||||||||||||||||||||
Arc ctg z = − |
|
i |
z −1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ln |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|||||||||||||||||
ω = Arsh z = Ln (z + |
|
|
|
|
), |
||||||||||||||||||||
z 2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||
ω = Ar ch z = Ln (z + |
|
|
|
), |
|||||||||||||||||||||
z 2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||
ω = Ar th z = |
1 |
Ln |
1 + z |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 − z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ω = Ar cth z = |
1 |
|
Ln |
z +1 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ω = Ar cth z = |
1 |
Ln |
z +1 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.9. Найти Arcsin i, Ar th (1 − i).
Решение. Согласно (1.47) и (1.50), (1.53) Arcsin i = -i Ln
- 2 i z t -1 = 0,
(1.50)
(1.51)
(1.52)
(1.53)
(1.54)
(-1 + 2 )=
= -i ln (2 -1)+ 2 k p, k Î Z.
Ar th (1 - i)= 1 Ln 1 +1 − i = 1 Ln 2 −i = 1 Ln (-1 - 2i)= |
||
2 1 -1 + i 2 |
i |
2 |
= 1 × [ln 5 + i (- p + arctg 2 + 2 k p)]= 1 × [ln 5 + i × ((2k -1)p + arctg 2)],
2 |
2 |
k Z.
Ответ: - i ln (2 -1)+ 2 k p, k Î Z ,
1 × [ln 5 + i × ((2k -1)p + arctg 2)], k Î Z. 2
ПРИМЕР 1.10. Найти значения степеней (-1)i , (-1) 2 .
(- )i = i×Ln (-1) = Ln (-1) = ln1 + i × (p + 2 kp) = = -(2k +1)p 1 e = (2k +1)pi e ,
k Î Z. Мы получили бесконечное множество действительных значений.
(-1) |
|
|
|
= e |
|
|
Ln (-1) = e |
|
|
|
|
(2k +1)pi , k Î Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: e-(2k +1)p , k Z; e |
|
|
|
(2k +1)pi , k Î Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 1.11. Решить уравнения ln (z - i) = 0; ei x = cos px, |
x Î R . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. ln (z - i) = ln |
|
|
z - i |
|
+ i × arg (z - i) = 0, что дает |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
z - i |
|
= 0 |
Û |
|
|
|
z - i |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z - i - действительное число и больше 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arg (z - i) = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С учетом этого получим |
|
z - i |
|
= z - i = 1, z = 1 + i . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ei x = cos x + i sin x = cos px Û cos x = cos px, Û |
px = ±x + 2p p, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = 0 |
x = n p |
|
||||||||||
n p2 = ±n p + 2pp, np = ±n + 2p, n (p ±1) = 2p Û |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Û p = 0, |
|
|
Û x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 1 + i; 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Замечание. |
Более простой способ решения уравнения ln (z − i) = 0 сле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дующий: согласно (1.46) z - i = 1, z = 1 + i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 1.12. Решить уравнение sh i z = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Согласно (1.52) i z = Ar sh (-1) = Ln (-1 ± |
|
|
). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ln ( |
|
-1) = ln ( |
|
-1)+ 2 kpi, z = 2 kp - i × ln ( |
|
-1); |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ln (-1 - |
|
) = ln ( |
|
|
|
+1)+ i (2k +1)p, k Î Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (2k +1)p - i × ln ( |
|
|
+1), k Î Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 2 kp - i × ln ( |
|
|
|
-1), k Î Z; (2k +1)p - i × ln ( |
|
|
+1), |
k Î Z . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
В качестве примера докажем тождества
sin i z = i × sh z, cos iz = ch z, tg iz = i th z .
Действительно, подставляя в (1.41) вместо z ® i z , получим
|
e−z - ez |
|
ez - e−z |
|
||||
sin iz = |
|
|
|
= i |
|
|
= i × sh z , |
(1.55) |
|
2i |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
cos iz = |
|
ez + e−z |
= ch z . |
|
|
(1.56) |
||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Последнее тождество – |
следствие первых двух. Если в (1.55) и (1.56) |
|||||||
взять z = x, x R , то sin ix = i × sh x, |
cos ix = ch x . Отсюда следует, что по |
|||||||
модулю эти величины могут быть |
сколь угодно большими. |
Например, |
cos ix ® +¥ при x → +∞ (− ∞). Таким образом, sin z , cos z могут превос-
ходить 1.
Введение ∞ удаленной точки. Сфера Римана. Аксиоматически ∞ удаленная точка комплексной плоскости вводится через
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9. R − окрестностью ∞ точки называется множе-
ство точек, для которых |
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
|
|
> R, R > 0. |
|
(1.57) |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
Если рассмотреть преобразование комплексной плоскости |
||||||||||||||
h = |
1 |
, |
z = |
1 |
, |
|
(1.58) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
h |
|
|
|
|||
то согласно (1.57) R − окрестность ∞ точки преобразуется в |
1 |
− окрестность |
||||||||||||
|
||||||||||||||
начала координат 0 + i 0, так как |
|
R |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
h |
|
< |
1 |
, |
|
|
|
(1.59) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что позволяет считать образом z = 0 бесконечно удаленную точку (∞). |
||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. z = x + i y |
называется конечной точкой ком- |
плексной плоскости, если x = Re z и y = Jm z − числа (конечные величины). Множество таких точек принято называть конечной комплексной плос-
костью.
Если же конечную комплексную плоскость дополнить ∞ точкой, то полученное множество точек принято называть расширенной комплексной плос-
костью. Сразу отметим, что символ ∞ , по-другому – |
бесконечно удаленная |
||||
точка, не имеет аргумента и модуля. |
|
|
|
||
Другой подход введения ∞ удаленной точки связан с именем Римана. |
|||||
1 |
|
1 |
|
||
Рассмотрим сферу ω радиуса |
|
и с центром в т. L 0,0, |
|
(рис. 1.6). Точка |
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
||
сферы N(0,0,1) называется |
северным полюсом, |
диаметральная точка |
S(0,0,0) − южным полюсом, которая совпадает с началом координат. Отобра- |
||||||||||
жение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π :z → M, M = (N z)I ω , |
|
|
|
(1.60) |
|||
где (Nz) − |
прямая, |
проходящая |
через |
|
|
|
|
|||
т. N и т. z , биективно (взаимно- |
|
z∙ |
|
|
||||||
однозначно). Если z → ∞ , то ее образ |
N |
|
|
|||||||
M стремится занять на сфере положе- |
∙ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
ние северного полюса N . |
Таким обра- |
|
L ∙ |
M |
|
|||||
зом, сфера с проколотой т. N - геометри- |
|
|
||||||||
ческая |
иллюстрация |
конечной |
ком- |
∙ |
|
∙ |
y |
|||
плексной плоскости. Если же мысленно |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
(аксиоматически) дополнить конечную |
|
|
0 |
|
||||||
комплексную плоскость еще одной точ- |
x |
|
∙ |
z |
||||||
кой, |
считая |
N ее образом и сохраняя |
|
|||||||
при |
этом |
биективность |
отображения |
Рис. 1.6 |
|
|||||
(1.60), то такая плоскость и есть расши- |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
ренная комплексная плоскость, прообраз |
|
|
|
|
||||||
N есть ∞ удаленная точка, а сфера ω − геометрическая иллюстрация расши- |
||||||||||
ренной комплексной плоскости. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Сфера ω , которая является геометрической интерпретацией расширен- |
|||||||||
ной комплексной плоскости, называется сферой Римана. |
|
|
|
1.4. КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11. z = x + i y называется переменной комплексной величиной, если хотя бы одна из величин x = Re z и y = Jm z является пере-
менной. |
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Если x = Re z и |
y = Jm z - упорядоченные пе- |
||||
ременные величины, то |
z = x + i y называется упорядоченной переменной ве- |
||||
личиной. |
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. Будем говорить, что z → z0 = x 0 + i y0 |
|||||
|
lim z = z 0 , |
(1.61) |
|||
если для δ > 0 |
|
|
значение z* = x* + i y* |
такое, что все последующие |
|
значения комплексной переменной z удовлетворяют условию (рис.1.6). |
|||||
|
z − z 0 |
|
< δ , |
(1.62) |
|
|
|
то есть все значения z после z* попадают в открытый |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
круг радиуса δ с центром в точке z0 (см. рис. 1.7). Кратко |
|
|
|
||||||
определение 1.13 означает, что |
|
|
z |
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
• • |
|
|
|
z − z0 |
|
(x − x 0 )2 + (y − y0 )2 |
− есть бесконечно ма- |
|
z0 |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
лая действительная величина. |
|
|
|
|
|||||
|
Теорема 1.3. |
z = x + i y |
→ z0 = x 0 + i y0 , |
|
Рис. 1.7 |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
когда |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x → x0 , |
|
|
|
(1.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y → y 0 |
, |
|
|
|
|
что равносильно |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
lim z = lim (x + i y )= lim x + i lim y = x0 + i y 0 . |
|
(1.64) |
Таким образом, нахождение предела комплексной переменной (КП) сводится к нахождению двух конечных пределов вещественных переменных: Re z и Jm z , и тогда скобку в (1.64) можно раскрывать.
|
|
Доказательство. Необходимость. Так как |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − x 0 |
|
, |
|
y − y0 |
|
|
|
≤ |
|
z − z0 |
|
= |
|
|
|
(x − x 0 )2 + (y − y0 )2 |
, |
то |
согласно |
условию |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.62) |
|
x − x 0 |
|
|
< δ, |
|
y − y0 |
|
< δ, что приводит к (1.63). Необходимость доказа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ > 0 |
|||||||||||||||
|
|
Достаточность. |
|
|
Условие |
(1.63) означает |
следующее: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x* = x* (δ), y* = y* (δ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
что все последующие значения |
x и y удовлетво- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требованиям |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x − x 0 |
|
< |
|
, |
|
|
|
|
|
y − y0 |
|
|
< |
|
|
|
. Отсюда для таких |
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x и y имеем |
|
|
|
z − z0 |
|
|
= |
|
x + i y − (x 0 + i y0 ) |
|
= |
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< δ2 |
+ δ2 |
|
|
|
|
|
|
v |
||||||||||
(x − x 0 )2 + (y − y0 )2 |
= δ |
|
0′ |
T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
• |
|
||
|
|
Этим теорема доказана полностью. |
|
|
u |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из теоремы 1 (см. (1.64)) следует, что все |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теоремы о пределах переменной вещественной |
|
|
Рис. 1.8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величины имеют место и для переменной ком- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плексной величины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие функции комплексного переменного (ФКП). Рассмотрим две комплексные плоскости z и ω (рис. 1.8).
На комплексной плоскости z рассмотрим множество точек D , а на ω − множество точек T (рис. 1.8).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14. Если задано отображение f :D → T , где каждому z D (прообразу) ставится в соответствие ровно одно (несколько) ω T
(образ), то говорят, что задана однозначная (многозначная) функция |
комплекс- |
ного переменного, и это записывают так: |
|
ω =f (z), |
(1.65) |
при этом D называется областью определения функции f (z), а |
T − обла- |
стью значений f (z). Как правило, в дальнейшем рассматриваются однозначные функции комплексного переменного, если не оговорено противное.
Образ множества при отображении f :D → T обозначается через f (D).
Таким образом, по определению f (D)= {f (z) z D}.
Если f (D)= T , то f называется отображением «на», то есть каждое значение из T имеет хотя бы один прообраз из D .
Выделяя вещественную и мнимую части, (1.65) можно записать в виде
ω = u + i v = f (x + i y )= u (x, y)+ i v (x, y ), |
(1.66) |
где |
|
u = u (x, y )= Re f (z), v = v (x, y )= Jm f (z). |
(1.67) |
Таким образом, задание ФКП равносильно заданию двух вещественных функций u и v от двух вещественных переменных x и y (см. (1.67)), задан-
ных на D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел. Непрерывность ФКП |
|
A = A1 + i A 2 называется |
||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Комплексное число |
||||||||||||
пределом |
функции |
|
f (z) при |
z → z0 и |
это записывается |
так: |
||||||
lim f (z)= A |
|
f (z)→ A |
при |
z → z0 , |
если |
для |
||||||
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε > 0 |
|
δ = δ(ε)> 0 , что как только |
|
|
|
|||||||
|
0 < |
|
z − z 0 |
|
< δ , |
|
|
(1.68) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
то для таких z имеет место |
|
|
|
|
||||||||
|
|
f (z)− A |
|
< ε . |
|
|
(1.69) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Геометрическая |
|
иллюстрация |
lim f (z) |
заключается в следующем: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
какой бы открытый круг радиуса ε > 0 с центром в т. A ни взять, найдется от- |
крытый круг радиуса δ > 0 с центром в т. z0 , что как только z ≠ z0 попадает в этот круг, то соответствующая точка f (z) попадает в открытый круг радиуса ε
Теорема 1.4. |
|
lim f (z)= A = A1 + i A 2 |
(1.70) |
z→z0 |
|
lim u(x, y ) ≡ lim Re f (z) = A |
1 |
= Re A, |
||
x→x |
x→x |
|
|
|
y→y00 |
y→y00 |
|
(1.71) |
|
lim v(x, y ) ≡ lim Jm f (z) = A 2 |
||||
= Jm A. |
||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
y→y0 |
|
|
Доказательство. Предоставляем читателю.
Таким образом, предел ФКП сводится к нахождению пределов от двух функций двух независимых переменных. Отсюда следует, что основные теоремы о пределах функций многих переменных имеют место и для ФКП.
Согласно (1.71) соотношение (1.70) можно записать так:
lim f (z) = lim [u (x, y)+ i v (x, y )] = |
||
z→z0 |
x→x0 |
|
|
y→y0 |
(1.72) |
|
|
|
|
= lim u(x, y )+ i lim v(x, y ), |
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
y→y0 |
y→y0 |
то |
есть |
квадратные скобки можно раскрывать, |
если |
пределы от |
|||
Re f (z), Jm f (z) и конечны (числа). |
|
|
|
||||
|
Непрерывность ФКП |
|
|
|
|||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Функция ω = f (z) |
непрерывна в т. z0 , если в |
|||||
этой точке функция определена и ее предел при z → z0 |
равен значению функ- |
||||||
ции в этой точке, то есть |
|
|
|
||||
|
|
lim f (z) = f (z 0 ). |
|
|
(1.73) |
||
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
Согласно теореме 1.4 (1.73) означает следующее: ω = f (z) непрерывна в |
||||||
т. z0 |
= x + i y |
, |
когда ее вещественная и мнимая |
части – |
непрерывные |
||
функции в точке (x 0 , y0 ), то есть |
|
|
|
||||
|
|
lim u(x, y ) ≡ lim Re f (z) = u (x0 , y |
0 ), |
|
|
||
|
|
x→x |
x→x |
|
|
|
|
|
|
y→y00 |
y→y00 |
|
|
(1.74) |
|
|
|
|
lim v(x, y ) ≡ lim Jm f (z) = v (x0 , y 0 ). |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
||
(1.73) |
lim f (z) = lim [u (x, y)+ i v (x, y )] = |
|
|
|
|||
|
|
z→z0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
|
|
|
|
|
= lim u(x, y)+ i lim v(x, y ) = u(x0 , y 0 )+ i v(x0 , y 0 ). (1.75) |
|||||
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
y→y0 |
y→y0 |
|
|
|
1.5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФКП. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И В ОБЛАСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Если lim |
f (z) |
|
||||||||||
, то он называется производ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z→0 |
z |
|
||||
ной ФКП ω = f (z) = u(x, y) + i(x, y) в т. z и обозначается f ′(z). |
|
|||||||||||
Таким образом, по определению производная |
|
|||||||||||
f ′(′z) = |
|
|
lim |
f (z), |
|
|
|
|
|
(1.76) |
||
|
|
|
z→0 |
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
|
z |
|
>0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где z = x + i y, z* |
= x* + i y* , z = z* − z = (x* − x)+ i (y* − y)= |
|||||||||||
= x + i y, x = x* − x, y = y* − y, |
z → 0 = 0 + i 0 |
x → 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y → 0, |
но x 2 + y2 ≠ 0; f (z) = f (z* )− f (z) = f (z + z) − f (z) = |
|
|||||||||||
= u (x* = x + x, y* = y + y)+ i v (x* , y* )− u (x, y) − i v (x, y) = |
||||||||||||
= u (x, y) + i v (x, y). Как всегда, предполагается, что предел (1.76) не за- |
||||||||||||
висит от способа стремления z → 0 при условии |
|
z |
|
> 0 . |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. ФПК ω = f (z) называется дифференцируемой в |
||||||||||||
т. z , если ее приращение в этой точке представимо в виде |
|
|||||||||||
f (z) = A (z) |
z + ω(z, z), |
|
|
|
|
|
(1.77) |
где первое слагаемое – |
главная часть приращения функции при A(z) ≠ 0 − ли- |
|||||
нейно относительно приращения |
z , а второе слагаемое есть бесконечно ма- |
|||||
лая величина, более высокого порядка малости, чем |
z , то есть |
|
||||
lim ω(z, |
z) = 0 . |
|
|
(1.78) |
||
z→0 |
z |
|
|
|
|
|
При условии дифференцируемости f (z) в т. z и A (z) ≠ 0 главная часть |
||||||
приращения функции, |
линейная относительно z , |
называется ее дифферен- |
||||
циалом в т. z и обозначается df (z). Таким образом, |
df (z) = A (z) |
z . |
||||
Убедимся, |
что нелинейную часть ω приращения функции можно пред- |
|||||
ставить в виде |
z) = p (z, |
|
|
|
|
|
ω(z, |
z) |
z , |
|
(1.79) |
||
где |
|
z) = 0. |
|
|
|
|
lim p (z, |
|
|
(1.80) |
|||
z→0 |
|
|
|
|
|
|
Действительно, полагая |
|
|
|
|
||
ω(z, |
z) = p (z, |
z), |
ω(z, z) = p (z, |
z) z |
(1.81) |
|
z |
|
|
|
|
|
и учитывая (1.78), получаем (1.80). Обратное очевидно.
Замечание. (1.79), (1.80) равносильно
ω (z, z)= p (z, z) x + q (z, z) y,
lim p(z, z)= lim q (z, z)= 0. |
|
|
(1.82) |
|
|
|
|
||
z→0 |
z→0 |
|
|
|
Теорема 1.5. ФКП допускает производную в точке z |
, когда она диф- |
|||
ференцируема в этой точке. |
|
|
|
|
Доказательство. Необходимость. (1.76) |
p (z, z)+ f ′(z)= |
f (z), |
||
lim p(z, z)= 0, |
f (z)= f ′(z) z + p (z, z) |
z . Теперь |
|
z |
остается |
сравнить |
|||
z→0 |
|
|
|
|
полученное с (1.77), (1.79) и (1.80), что завершает доказательство необходимо-
сти. |
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Из (1.77), (1.78) следует |
|
|||||
lim |
f (z) = lim A (z)+ ω(z, |
z) |
= A (z)+ lim ω(z, z) = A (z), то |
|||
z→0 |
z |
|
z |
|
z→0 |
z |
z→0 |
|
|||||
есть f ′(z)= A(z). Теорема доказана полностью. |
|
|||||
Таким образом, при условии дифференцируемости, формулу (1.77) мож- |
||||||
но написать так: |
|
|
|
|
|
|
|
f (z)= f ′(z) z + p (z, |
z) |
z . |
|
(1.83) |
Следовательно, (1.83) совместно с требованием (1.80) определяют необходимые и достаточные условия дифференцируемости f (z) в т. z . И при этом условии и f ′(z)≠ 0 дифференциал функции f (z) в т. z определяется равенст-
вом df (z)= f ′(z)dz, z = dz .
Теорема 1.6. Если ФКП ω = f (z) допускает f ′(z) в точке z = x + i y , то вещественная и мнимая части этой функции допускают частные производные в
и эти частные производные должны удовлетворять условиям
|
u′ (x, y)= v′ |
(x, y), |
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
y |
|
|
(1.84) |
|||
|
v′′(x, y )= −u′′(x, y). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
Условия (1.84) называются условиями Коши-Римана (К-Р) либо Далам- |
|||||||||
бера-Эйлера (Д-Э). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Предположим, что производная f ′(z) . Тогда согласно |
|||||||||
(1.72) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(z)= |
|
u (x, y)+ i |
v (x, y) = |
|
y = 0 |
|
|
||
|
|
|
|||||||
lim |
|
x → 0 |
|
= |
|||||
|
|
z→0 |
|
x + i |
y |
|
x ≠ 0 |
|
|
|
|
{ x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= lim |
u (x, y)+ i lim |
v (x, y) = u′ (x, y)+ i v′ (x, y), |
|||||||
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
x |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
f ′(z) = u′x (x, y)+ i v′x (x, y), |
|
|
|
|
|
(1.85) |
|
||||
так как предел не должен зависеть от способа |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
|
|
|
||||||
стремления z* → z (z* ≠ z). Здесь z* → z по |
|
|
|
• z* |
|
|
||||||
прямой |
x = const (рис. 1.9). Аналогично, уст- |
|
|
y• |
z • |
|
|
|||||
ремляя |
z* → z по |
прямой |
y = const (рис. |
|
|
|
|
|||||
1.9), имеем |
|
|
u (x, y) + i v (x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
||
f ′(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
0 |
|
x |
x |
||||||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ x=0 |
|
i |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
[u′′ (x, y )+ i v′′ (x, y)]= |
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
= |
= −i |
|
= v′′ (x, y )− i u′′ |
(x, y ). |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
i |
y |
y |
|
i |
i 2 |
|
|
y |
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f ′(z) = v′y (x, y)− i u′y (x, y ). |
|
|
|
|
(1.86) |
|||||||
Сравнение (1.85) и (1.86) дает (1.84). Что и требовалось доказать. |
||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f ′(z) = u′x (x, y) + i v′x (x, y) = v′y (x, y) − i u′y (x, y). |
(1.87) |
Теорема 1.7. При условии (1.84) ФКП ω = f (z) допускает производную f ′(z) в точке z = x + i y , когда вещественная и мнимая части f (z) диффе-
(x, y).
|
|
Доказательство. Необходимость. Согласно (1.83) и (1.80) |
|
|||||||||||
|
|
f (z) = u(x, y) + i |
v (x, y) = |
|
|
|
|
|||||||
= [u′x (x, y) + i v′x (x, y)] ( x + i |
y) + |
|
|
|
|
|||||||||
+ [α (x, y, x, y) + i β(x, y, x, y)] ( x + i y) = |
|
|||||||||||||
|
α = α (x, y, x, y) = Re p (z, z) → 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
β = β (x, y, x, y) = Jm p (z, z) → 0 |
|
= |
|
|
|
|
|||||||
|
при |
z → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [u′x |
x + u′y y]+ i [u′x |
y + u′x |
|
x]+ |
|
α x − β y + i (α y + β x) |
|||||||
|
|
u (x, y ) = d u (x, y )+ α |
x − β |
|
y, |
(1.88) |
||||||||
|
|
v (x, y ) = d v (x, y )+ α |
y + β |
|
x, |
(1.89) |
||||||||
последнее означает дифференцируемость u (x, y) = Re f (z), |
|
|||||||||||||
|
v (x, y) = Jm f (z) в рассматриваемой точке (x, y), если учесть, что |
|
||||||||||||
|
|
lim α |
x − β |
y = 0, |
lim α |
y + β x = 0 . |
(1.90) |
|||||||
|
|
x→0 |
|
z |
|
|
x→0 |
|
z |
|
|
|||
|
|
y→0 |
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Из (1.88), (1.89) согласно (1.84), (1.87) и (1.90) имеем