Пособие_к_тесту_Интегрирование

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

( x 1x 4cos x sin x)dx .

Решение. По третьему правилу интегрирования 3 этот интеграл можно разбить на четыре:

( x 1x 4 cos x sin x)dx xdx dxx 4 cos xdx sin xdx.

Теперь остается только взять каждый интеграл в отдельности, используя формулы из таблицы простейших интегралов: для первого интеграла – формулу 1, для второго – 2, для третьего – 10 и правило интегрирования 2, говорящее о том, что константу можно выносить за знак интеграла, а для четвертого интеграла – формулу

9.

													dx	4 cos xdx sin xdx.
Получаем:											xdx
													x
			1		1											3
	x 2														2
						ln				4 sin x cos x C								ln				4	sin x cos x C .
								x								x 2				x
	1														3
				1
		2

Подведение функции под знак дифференциала

Согласно определению дифференциала, для любой функции

Таким образом, мы можем составить таблицу

u(x) : du u (x) dx .

часто используемых дифференциалов:

1) d (ax b) adx

2) d (ax2 b) 2axdx

3) d (ax3 b) 3ax2dx

4) d ln

x

dx

5) darctgx

dx

6) d arcsin x

dx

x

1 x2

1 x 2

7) da x a x ln adx

8) dex e xdx

9) d sin x cos xdx

10) d cos x sin xdx

11) dtgx

dx

12) dctgx

dx

cos2 x

sin 2 x

Пример 1. Найти неопределенный интеграл 3x2

2 8 6xdx.

Решение. Используем формулу 2 из таблицы дифференциалов,

так как (3x2 2) 6x , т.е. d (3x2

2) 6xdx.

11

1 x2

Таким		образом,				3x2	2 8 6xdx= 3x2 2 8 d (3x2 2) .				Для
большей наглядности можно сделать замену 3x2 2 u .
Тогда	3x2			2 8 d (3x2 2) u8du				u9	C . Сделаем обратную
					3x2	2 9	9
		u9
подстановку			C			C .
	9					9
Пример 2. Найти неопределенный интеграл 7x2										1 3 xdx.
Решение. Используем формулу 2 из таблицы дифференциалов,
так как (7x2 1) 14x ,						т.е.	d (7x2 1) 14xdx. В			отличие	от
предыдущего примера для получения дифференциала d (7x2 1)											нам

не хватает коэффициента 14. Чтобы выйти из создавшегося положения, домножим и разделим на 14 исходный интеграл и проведем следующие преобразования:

7x2 1 3 xdx					14	7x2 1 3 xdx						1		7x2 1 314xdx
					14						14
	1		7x2	1 3 d (7x2			1)	1		7x2 1 4					C	7x2 1 4	C
	14							14			4					56

Пример 3. Найти неопределенный интеграл arctg 4 xdx. .

Решение. Используем формулу 5 из таблицы дифференциалов,

1

, т.е. darctgx

dx

так как (arctgx)

1 x2

1 x2 .

Таким образом,

arctg4 xdx

= arctg 4 xdarctgx. Для большей

1 x2

наглядности можно сделать замену

arctgx u . Тогда u 4du

u5

C .

5

Сделаем обратную подстановку

u5

C

arctg5 x

C .

5

5

Пример 4. Найти неопределенный интеграл ln 2 xdx. .

x

12

Решение. Используем формулу 4 из таблицы дифференциалов,

1

dx

так как (ln x)

x , т.е. d ln x x .

Таким образом,

ln 2 xdx

= ln 2 xd ln x . Для большей наглядности

x

можно сделать замену ln x u .

Тогда

u 2du

u3

C .

Сделаем обратную подстановку:

3

u3

C

ln 3 x

C .

3

3

Пример 5. Найти неопределенный интеграл 2x 3 9 dx.

Решение. Используем формулу 1 из таблицы дифференциалов, так как (2x 3) 2 , т.е. d (2x 3) 2dx .

Таким образом,

2x 3 9 dx 12 2x 3 9 2dx 12 2x 3 9 d 2x 3 .

1 2x 3 10 C 2x 3 10 C

2 10 20

Метод подстановки

Вряде случаев интеграл можно упростить, если сделать замену и перейти к новой переменной интегрирования.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл xxdx1 .

Решение. Сделаем замену t x. Следовательно, x t 2 ,

dx 2tdt.

Таким образом:

t 2tdt

t 2dt

t 2

1 1

xdx

2

2

dt 2 dt 2

dt

x 1

t 2 1

t 2 1

t 2 1

t 2

1

2t 2arctgt C 2

x 2arctg

x C.

Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней, то подстановка выбирается таким образом, чтобы можно было избавиться сразу от всех радикалов.

13

Пример 2. Найти неопределенный интеграл				dx			.
				3
			x		x

Решение. Сделаем замену t 6x. Следовательно, x t 6 ,

dx 6t5dt.

Таким образом:

dx

6t 5dt

6

t 5dt

6

t 3dt

3

t 3 t 2

t 1

t 6 3 t 6

x

x

6

t3

1

dt 6

dt

6

(t 1)(t 2 t 1)

dt

t

1

t

1

t 1

t 3

t 2

6

dt

6(

t ln

t 1

) C 6(

x

t 1

3

2

3

	6		(t 3		1 1)dt
					t 1
	6		dt		6 t 2 t 1 dt
		t 1

3 x 6 x ln 6 x 1) C. 2

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

e x dx

.

e

2x

1

Решение. Сделаем замену t ex . Следовательно e2x t 2 ,

exdx dt.

Таким образом:

e xdx

dt

arctgt C arctgex C .

e2x 1

t 2 1

Для

интегралов,

содержащих

a x2 ,

a x2 ,

x2 a ,

a

рекомендуются следующие замены: x

a sin t, x

a tg t, x

cos t

соответственно.

Пример 4. Найти неопределенный интеграл

x2dx

.

1 x2

Решение. Сделаем замену x sin t . Следовательно dx costdt.

Тогда

1 x2 1 sin 2 t

cos t.

Таким образом:

x2dx

sin 2 t cos tdt

sin 2 tdt.

1 x

2

cos t

Чтобы решить полученный интеграл, необходимо применить

тригонометрическую формулу sin

2 x

1 cos x

.

2

2

14

sin 2 tdt			1	1 cos 2t dt	1	dt	1		cos 2tdt	1	t			1	sin 2t C.
		2			2	2				2			4
Теперь	надо вернуться					к переменной				x .			Для этого надо
выразить t		через x . Поскольку							x sin t ,			то t arcsin x , а

sin 2 t 2sin t cost 2sin t 1 sin 2 t 2x 1 x2 .

Получаем ответ:

12 t 14 sin 2t C 12 (arcsin x x1 x 2 ) C .

Пример 5. Найти неопределенный интеграл

x2 1

dx .

x2

Решение. Сделаем замену x tg t . Следовательно,

dx

dt

.

cos2 t

x2 1

dx

tg2t 1

dt

sect cos2 t

dt

dt

tg2t

cos2 t

sin 2 t cost

x2

sin 2 t

cos2 t

sin 2 t cos2 t

dt

dt

cost

dt ln

tgt sect

1

C

sin 2 t cost

sin 2 t

cost

sin t

1 tg 2t

x2 1

ln

tg t 1 tg 2t

C ln

x x2 1

C.

tg t

x

Интегрирование по частям

При вычислении интегралов этим методом подынтегральное

выражение разбивают на две части u и dv .

udv uv vdu – формула интегрирования по частям.

Некоторые случаи интегрирования по частям

1.

Подынтегральная

функция

–

произведение xn на

тригонометрическую или показательную функцию. В этом случае u xn , а все остальное обозначают за dv .

Пример 1. Найти неопределенный интеграл x sin 3xdx.

Решение. Принимаем u x, dv sin 3xdx .

15

1

1

dx

dx, v dv sin 3xdx

cos3x.

Отсюда находим du u dx

3

Таким образом:

x sin 3xdx. uv vdu

1

x cos3x

1

cos3xdx

1

x cos3x

1

sin 3x C.

3

3

3

9

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

(x 2 2x 7) e2x dx.

Решение.

(x2

2x 7) e2x dx

u x2 2x 7

du (2x 2)dx

dv e

2x

dx

v

1

e

2x

u v vdu

2

1

e

2x

(x

2

2x 7)

1

e

2x

(2x 2)dx

1

e

2x

(x

2

2x

7) (x 1)e

2x

dx

2

2

2

u x 1

du dx

1

2x

2

1

2x

1

e

2x

2x

1

2x

e

(x

2x 7)

(x 1)e

d 2x

e

dx v

dv

e

2

2

2

2

2

12 e2x (x2 2x 7) 12 e2x (x 1) 14 e2x C

12 e2x (x 2 2x 7 x 1 12) C 12 e2x (x 2 3x 172 ) C .

2.Подынтегральная функция – произведение xn на

логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. В этом случае за u принимают логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, а все остальное обозначают за dv .

Пример 1. Найти неопределенный интеграл x3 ln xdx.

Решение. Принимаем: u ln x, dv x3dx .

												dx					, v dv x						3				x4
Отсюда находим du u dx																								dx				.
													x														4
Таким образом:
x3 ln xdx. uv vdu							x4		ln x				1						x4dx		x4	ln x			1		x3dx
						4							4						x	4					4
	x4	ln x	1		x4	C		x4			(ln x				1			) C.
4			4	4		4							4

16

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

(4x3 6x 7) ln xdx .

Решение.

u ln x

du

1

dx

(4x3

6x

7) ln xdx

x

dv (4x2 6x 7)dx

v x4 3x2

uv vdu (x

4 3x2 7x) ln x

x4 3x2 7x

dx (x4 3x2

x

x3dx 3 xdx 7 dx (x4 3x2 7x)ln x

x4

3x2

7x C .

4

2

Пример 3. Найти неопределенный интеграл arcsin

7x

7x) ln x

xdx.

u arcsin x

du

dx

Решение. arcsin xdx

1 x2

dv dx

v x

xdx

1

2xdx

=uv vdu x arcsin x

x arcsin x

1 x2

2

1 x2

1

d 1 x

2

x arcsin x

1

1

x arcsin x

1 x2

2 d 1 x2

2

1 x2

2

1

1 x2

1

2

C .

x arcsin x

x arcsin x

1 x2

1

2

2

3. Подынтегральная функция – произведение тригонометрической и показательную функций. В этом случае дважды применяют формулу интегрирования по частям и в результате приходят к исходному интегралу.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл 3x cos xdx.

Решение. Принимаем u 3x , dv cos xdx .

Отсюда находим du u dx 3x ln 3dx, v dv cos xdx sin x.

Таким образом:

17

1 ln 2 3

В левой и правой части Выразим его из полученного

3x cos xdx uv vdu 3x sin x ln 3 3x sin xdx. Для последнего

интеграла еще раз применяем интегрирование по частям, принимая

u 3x , dv sin xdx , du u dx 3x ln 3dx, v dv sin xdx cos x.

Получается:

3x cos xdx 3x sin x ln 3 3x sin xdx 3x sin x ln 3( 3x cos x ln 3 3x cos xdx)3x sin x 3x ln 3cos x ln 2 3 3x cos xdx.

уравнения присутствует 3x cos xdx.

выражения:

3x cos xdx ln 2 3 3x cos xdx 3x (sin x ln 3cos x) .

Окончательно имеем: 3x cos xdx 3x (sin x ln 3cos x) C .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл e x sin x dx .

	u e x	du e x dx
Решение. J e x sin x dx =	dv sin xdx v cos x		= uv vdu

u e x

e x cos x ( cos x)e x dx dv cos xdx = du e x dx

v sin x

= e x cos x e x sin x e x sin xdx= e x (sin x cos x) J J. => => 2J e x (sin x cos x) => J 12 e x (sin x cos x) .

1.1.4.Некоторые классы интегрируемых функций

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегралы

вида

mx n

dx,

mx n

dx,

ax2 bx

c

ax2 bx c

mx n ax2 bx cdx

имеет

смысл брать,

используя замену

18

t

1

2

bx

c

(x

b

) ,

т.е.

перед тем как делать замену,

надо

x

2

a

a

2a

вынести за знак интеграла коэффициент при x2.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

2x 3

dx.

x2 4x 1

1

1

Решение. Делаем замену t

x

2 4x 1

2x 4 x 2 .

2

2

Отсюда

x t 2, dx t

1 dt dt.

Подставляем

в

2 dt

исходный интеграл:

2x 3

dx

2 t 2 3

dt

2t 1

dt

2t 1

dt

x2 4x 1

t 2 2 4 t 2 1

t 2 4t 4 4t 8 1

t 2 3

d (t 2 3)

2t

dt

dt

dt

ln

t 2

3

1

ln

t

3

C .

t 2

2

t 2 3

t 2 3

t 2 3

2 3

t 3

3

Сделаем обратную подстановку:

t 2 3

1

t

3

1

ln

x 2

3

C .

ln

ln

C ln

x 2 2 3

t 3

x 2 3

2 3

2 3

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

dx

.

4x

2 2x 3

Решение. Вынесем за знак интеграла коэффициент при x2.

dx

1

dx

.

2

4x 2 2x 3

x

2

1

x

3

2

4

Делаем замену t

1

2

x

3

x

1

.

x

2

2

4

4

1

1

Отсюда

x t

, dx t

dt 1 dt dt.

4

4

Подставляем в исходный интеграл:

19

1						dx													1												dt												1														dt
2																			2																								2
			x2					1		x	3															1 2						1			1				3										t 2			t				1					t				1		3
						2					4													t										t																	2			16					2				8				4
																										4						2			4				4
																																																						1			2
				1						dt										1							t 2			13							1							1															13
																							ln		t									C				ln		x										x														C .
				2					t 2			13								2										16							2							4										4					16
											16

Интегрирование тригонометрических функций

1. Для интегралов вида: sin mx cos nx dx , sin mx sin nx dx ,cos mx cos nx dx применяются следующие формулы:

sin mx cos nx 12 sin( m n)x sin( m n)x sin mx sin nx 12 cos(m n)x cos(m n)x cos mx cos nx 12 cos(m n)x cos(m n)x .

Пример 1. Найти неопределенный интеграл sin 9x sin xdx.

Решение.

sin 9x sin xdx 12 (cos8x cos10x)dx 161 sin 8x 201 sin 10x C .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл sin 3x cos 23x dx .

Решение.

sin 3x cos 23x dx 12 (sin x sin 3x)dx 12 sin xdx 32 sin 3x d ( 3x)

12 cos x 32 cos 3x C

2.Интегралы вида: sin m x cosn xdx

(В частном случае одна из степеней может равняться 0!)

20