Пособие_к_тесту_Интегрирование

Одна степень – нечетное положительное число, другая – любая (дробная, отрицательная и т.д.)

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

Решение.

sin 10 x cos3 xdx sin 10 x cos2 x cos xdx cos xdx d (sin x)

sin 10 x(1 sin 2 x)d (sin x)

sin x t

= t10 (1 t 2 )dt t10 dt t12 dt

t11

t13

C

11

13

=

sin 11

sin 13

C .

11

13

Пример 2. Найти неопределенный интеграл

cos3 x

dx .

sin 2 x

Решение.

cos3 x

dx

cos2 x cos xdx

1 sin 2 x

d (sin x)

sin x t

sin 2 x

sin 2 x

sin 2 x

2

=

1 t

dt

dt

dt

1

t C

1

sin x C .

2

2

t

t

t

sin x

Пример 3. Найти неопределенный интеграл 3cos2 x sin 3 xdx.

Решение.

23 xsin 2 xsin xdx cos

23 (1 cos2 x)d (cos x)

3 cos2 x sin 3 xdx cos

cos x t

t 23 (1 t 2 x)dt t 23 dt t 83 dt

3t

53

3t113

C

5

11

5

11

3

cos 3 x

3

cos 3 x C .

5

11

Пример 4. Найти неопределенный интеграл sin 5 xdx .

Решение.

sin 5 xdx sin 4 x sin xdx (1 cos2 x)2 d (cos x)

t cos x

2t3

(1 t 2 )2 dt (1 2t 2 t 4 )dt dt 2 t 2dt t 4dt t

3

21

				t5			C cos x																				2			cos3 x														1		cos5 x C .
			5																							3																	5
		Пример 5. Найти неопределенный интеграл
		Решение. sin														3 x					cos					5 x							dx 2 sin													3 x				cos			5 x				d (	x	) .
																			2										2																		2								2			2
1-й способ: 2 sin														3 x				cos					4			x			cos									x	d (		x		) 2 sin								3 x					(1 sin				2
																2										2											2				2													2
								x			2 t3 (1 t 2 )2 dt 2 t3 (1 2t 2																																							t 4 )dt
		t sin
							2
2 t3dt 4 t5dt 2 t 7dt																																		2t 4								4t 6						2t8					C
																																				4							6							8
		1	sin		4 x							2	sin		6 x							1			sin						8 x							C .
		2					2					3					2					4													2

sin 3 2x cos5 2x dx .

2x )2 d (sin 2x )

2-способ:

2 cos5 2x sin 2 2x sin 2x d ( 2x ) 2 cos5 2x (1 cos2 2x )d (cos 2x )

13 cos6 2x 14 cos8 2x C .

Пример 6. Найти неопределенный интеграл cos5 x dx . sin 3 x

Решение.

cos5 x

dx

cos4 x cos xdx

dx

(1 sin 2 x)2 d (sin x)

sin x t

sin 3 x

sin 3 x

sin 3 x

(1 2t 2

t 4 )

dt t

3dt 2

dt

tdt

t 2

2ln

t

t 2

C

t3

t

2

1

1

2

2ln

sin x

sin 2 x C .

2sin 2 x

2

Пример 7. Найти неопределенный интеграл cos3 xdx.

Решение.

cos3 xdx cos2 x cos xdx (1 sin 2 x)d (sin x)

= d (sin x) sin 2 xd(sin x) sin x

sin 3 x

C .

3

22

Обе степени m и n – четные и неотрицательные

Нужно использовать следующие формулы:

sin	2 x			1 cos x	,	cos	2	x		1 cos x	, sin 2x 2sin x cos x .
		2		2				2		2

Замечание: Эти формулы позволяют нам снизить показатель степени тригонометрических выражений в 2 раза. Последовательное их применение приводит подынтегральные выражения к 1-й степени, т.е. к табличным интегралам.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл cos2 xdx.

Решение.

cos							2 xdx							1 cos 2x											dx					1					dx									1					cos 2xd(2x)												1	x	1	sin 2x C .
																																													2 2
																			2											2																										2							4
Пример 2. Найти неопределенный интеграл sin 4 x cos2 xdx .
Решение.
																						1 cos 2x 2 1 cos 2x
sin 4 x cos2 xdx																																																			dx
																							2																					2
	1		(1 cos2x)2 (1 cos2x)dx																																1				sin 2 2x(1 cos2x)dx
8																																			8
				1				1 cos 4x							(1 cos2x)dx																				1						(1 cos4x)(1 cos2x)dx
			8							2																				16
				1			dx					1					cos2xd(2x)																						1					cos4x d(4x)
																																			16 4
			16							16 2
			1				cos 4xcos 2xdx																1					x				1						sin 2x											1			sin 4x						1		(cos 2x
			16																				16							32														64												32
cos6x)dx													1					x				1		sin 2x														1				sin 4x										1		cos2xd(2x)
																																																		32 2
													16						32																64
			1							cos6xd(6x)													1					x				1					sin 2x												1			sin 4x						1	sin 2x
				32
									6													16								32														64												64
			1						sin 6x C										1			x						1	sin 2x															1		sin 4x								1		sin 6x C .
			192																16				64																64													192

Пример 3. Найти неопределенный интеграл sin 4 xdx.

23

Решение.

						4									2		2			1 cos 2x									2					1							2
		sin					xdx					(sin				x)		dx (									)			dx					(1 2cos 2x cos								2x)dx
																							2											4
				1		dx					1		cos 2xd(2x)										1		1 cos 4x							2dx				1	x	1	sin 2x	1			dx
				4			2					2											4													4		4		8
				1			cos4xd(4x)											1	x	1		sin 2x				1		x				1		sin 4x C
				8 4
																		4		4						8				32
	3	x	sin 2x						sin 4x					C .
	8			4			32

Обе степени m и n – целые, четные и отрицательные

Необходимы формулы: sin 2 x cos2 x 1

	tg 2 x 1		1
		cos2 x
	ctg2 x 1		1
			sin	2 x

Кроме того, следует помнить, что:

	(tgx)'			1		(ctgx)'			1
				cos2 x					sin 2 x
	1		dx d (tgx)			1		dx d (ctgx)
		cos2 x					sin 2 x

Пример 1. Найти неопределенный интеграл

Решение.

dx

cos4 x .

	dx		1		dx	(tg2 x 1)d (tgx) tg2 xd(tgx) d (tgx)	tg3x	tgx C
	cos4 x cos2 x cos2 x					3

3. Для интегралов вида tg m xdx, ctgm xdx (m – целое

положительное) следует использовать формулы предыдущего пункта в виде:

	tg2x	1	1	ctg2x	1	1
		cos2 x			sin 2 x

и не забывать о производных и дифференциалах tgx и ctgx .

24

Пример 1. Найти неопределенный интеграл tg4 xdx .

Решение.

tg4 xdx tg2 xtg2 xdx tg2 x(

1

1)dx tg2 x

1

dx tg2 xdx

cos2 x

cos2 x

tg3x

(

1

1)dx

tg3x

dx

dx

tg3x

tgx x C .

cos2 x

cos2 x

3

3

3

Пример 2. Найти неопределенный интеграл ctg3xdx .

ctg3xdx

2 xdx

1

Решение.

ctgx ctg

ctgx

1 dx

sin 2 x

ctgx

1

dx

cos xdx

ctg2 x

ln

sin x

C .

2

sin

x

sin x

2

1.2. Образцы решений типовых заданий

Тема 1. Табличные интегралы

Вопрос 1.

Решение.

Если сравнить эти интегралы с табличными, представленными в параграфе 1.1.2., то можно заметить, что первые две формулы записаны без ошибок, а третья и четвертая с ошибками.

25

Тема 2. Табличные интегралы (часть 2)

Вопрос 2.

Решение.

Для решения этого интеграла воспользуемся основными правилами интегрирования 2 и 3, а также формулой простейших интегралов 1 из параграфа 1.1.2. Получим:

											1											1		1
6 x3dx 3 x2dx
							4 x					2 dx 2 x										3 dx 3 x 2 dx
					1									2			3
	x4		x3
6		3		4	x 2				2		x			3		3	x 2				C
	4		3		1						2						3

2 3 2

После упрощения получим окончательный ответ:

Вопрос 3.

Решение.

Для решения этого интеграла воспользуемся основными правилами интегрирования 2 и 3, а также формулами простейших интегралов 1 и 2 из параграфа 1.1.2. Получим:

					dx				1		1		1
	5		xdx 5			6		x	3dx 3		x 2 dx 2		x 3dx
					x

26

							2						3						4
	x2
5		5ln		x		6	x 3					3	x 2					2	x 3					C
	2							2						3						4
							3						2						3

После упрощения получим окончательный ответ:

.

Тема 3. Интегралы (часть 3)

Вопрос 4.

Решение.

Этот пример, а также примеры с 5-го по 9-й, решаются методом подведения под знак дифференциала. Причем, для всех примеров этот дифференциал будет одинаковым:

d (3x 7) 3x 7 dx 3dx , т.е. для решения интегралов необходимо домножить и разделить на 3 и тогда они сведутся к табличным.

cos(3x 7)dx 13 cos(3x 7)3dx 13 cos(3x 7)d(3x 7)

Можно сделать замену 3x 7 a , и тогда интеграл перепишется: 13 cosada 13sin a C . Вернувшись к старой переменной, получим

окончательный ответ: 13sin 3x 7 C .

Вопрос 5.

Решение.

e3x 7dx 13 e3x 73dx 13 e3x 7d (3x 7)

Можно сделать замену 3x 7 a , и тогда интеграл перепишется: 13 eada 13 ea C . Вернувшись к старой переменной, получим

окончательный ответ: 13 e3x 7 C .

27

Вопрос 6.

Решение.

3x 7 5 dx 13 3x 7 53dx 13 3x 7 5d (3x 7) .

Можно сделать замену 3x 7 a , и тогда интеграл перепишется:

1	a5da 1	a6	C . Вернувшись к старой переменной, получим
3	3	6
окончательный ответ:				3x 7 6	C .
				18

Вопрос 7.

Решение.

53x 7 dx 13 53x 73dx 13 53x 7 d (3x 7)

Можно сделать замену 3x 7 a , и тогда интеграл перепишется:

		1		5a da	1		5a C . Вернувшись к старой переменной, получим
	3				3ln 5
	окончательный ответ:							1		53x 7	C .
								3ln 5

Вопрос 8.

Решение.

53x 7dx 13 3x 7 1/ 53dx 13 3x 7 1/ 5d(3x 7)

Можно сделать замену 3x 7 a , и тогда интеграл перепишется:

28

1	a1/ 5da 1	a6 / 5	C . Вернувшись к старой переменной, получим
3	3 6 / 5

окончательный ответ: 185 5 3x 7 6 C .

Вопрос 9.

Решение.

			dx		1			3dx		1		d tg(3x 7) .
		cos	2 (3x 7)		3			cos2 (3x 7)		3

Получим окончательный ответ: 13 tg(3x 7) C .

Вопрос 10.

Решение.

Этот пример также решается методом подведения под знак дифференциала. Найдем дифференциал от выражения, стоящего в знаменателе:

d (x4 7) x4 7 dx 4x3dx, т.е. для решения этого интеграла

необходимо домножить и разделить на 4 и тогда он сведется к табличному.

	x3dx		1		4x3dx		1		d x4 7
						dx
	x4 7		4		x4 7		4		x4 7

Можно сделать замену x4 7 a , и тогда интеграл перепишется: 14 daa 14 ln a C . Вернувшись к старой переменной, получим

окончательный ответ: 14 ln x4 7 C .

Вопрос 11.

29

213 ln

Решение.

И этот пример решается методом подведения под знак дифференциала. Найдем дифференциал от выражения, стоящего в знаменателе в скобках:

d (sin x 7) sin x 7 dx cos xdx.

Получим:

d(sin x 7) (sin x 7) 3d(sin x 7) (sin x 7)3

Можно сделать замену (sin x 7) a , и тогда интеграл перепишется:

	a	3da	a 2	C	1	C . Вернувшись к старой переменной,
			2		2a2
	получим окончательный ответ:						1	С .
							2(sin x 7)2

Тема 4. Интегралы (часть 4)

Вопрос 12.

Решение.

Этот интеграл содержит в знаменателе квадратный трехчлен (смотри параграф 1.1.4).

1

1

Делаем замену t

x2

4x 5

2x 4 x 2 .

2

2

Отсюда x t 2, dx t 2 dt 1 dt dt.

Подставляем в исходный интеграл:

dx

dt

dt

x2 4x 5

t 2 2 4 t

2 5

t 2

4t 4 4t 8 5

			dt			dt
		t 2 9			t 2 32

Сделаем обратную

t 3

C

1

ln

t 3

C

t 3

t 3

6

.

подстановку и получим окончательный ответ:

1

t 3

C

1

ln

x 2 3

C

1

ln

x 1

C .

ln

t 3

x 2 3

x 5

6

6

6

30