Пособие_к_тесту_Интегрирование
.PDF
Вопрос 13.
Решение.
Этот интеграл тоже содержит в знаменателе квадратный трехчлен (смотри параграф 1.1.4.).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Делаем замену t |
x2 6x 13 |
2x 6 x 3. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда x t 3, dx t 3 dt 1 dt dt. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Подставляем в исходный интеграл: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t 3 2 6 t |
|
|
t 2 6t 9 |
|
|
|
|||||||||||
x2 6x 13 |
|
3 13 |
|
6t |
18 |
13 |
||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
dt |
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t 2 4 |
t 2 |
22 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сделаем обратную подстановку и получим окончательный ответ:
1 |
arctg |
t |
C |
1 |
arctg |
x 3 |
C . |
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||
Вопрос 14.
Решение.
Этот интеграл тоже содержит в знаменателе квадратный трехчлен. Но если решать его таким же способом, как и два предыдущих примера, то решение получится слишком громозким. Лучше пойти другим путем - числитель является дифференциалом выражения, стоящего в знаменателе в скобках, т.е.:
d(x2 10x 4) x2 10x 4 dx (2x 10)dx .
d (x2 10x 4) (x2 10x 4) 5 d (x2 10x 4) (x2 10x 4)5
Можно сделать замену x2 10x 4 a , и тогда интеграл перепишется:
31
a |
5da |
a 4 |
C |
1 |
C . Вернувшись к старой переменной, |
|||
4 |
4a4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
получим окончательный ответ: |
1 |
С . |
||||||
|
||||||||
4(x2 10x 4)4 |
||||||||
Тема 5. Интегралы (часть 5)
Вопрос 15.
Решение.
Этот интеграл и три следующих решаются методом интегрирования по частям (смотри параграф 1.1.3.).
|
|
|
|
u arctg2x |
du |
2dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
arctg2xdx |
|
|
|
|
|
|
uv vdu |
||||||||||||||||||||
1 2x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dv dx |
|
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
xarctg2x |
|
|
2xdx |
xarctg2x |
1 |
|
|
4 2xdx |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
4 |
|
|
1 4x2 |
|
|
||||||||||||||
xarctg2x |
1 |
|
|
|
8xdx |
|
xarctg2x |
|
1 |
|
d 1 4x2 |
|
|||||||||||||||
4 |
|
1 4x2 |
|
|
4 |
|
|
1 4x2 |
|
||||||||||||||||||
xarctg2x |
1 |
|
|
С . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln |
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Следует обратить внимание на то, что при решении интеграла |
||||||||||||||||||||||||||
|
2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применялся метод подведения под знак дифференциала, а |
||||||||||||||||||||||||||
1 4x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
сам пример мало чем отличается от примера из вопроса 10. |
|||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что 1 4x2 положительно при любых значениях x , |
|||||||||||||||||||||||||||
получим окончательный ответ: |
|
xarctg2x |
1 |
ln 1 4x2 С . |
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 16.
32
Решение.
Применяем формулу интегрирования по частям (смотри параграф 1.1.3.).
|
u ln 3x |
du |
3dx |
|
dx |
|
|
|
|||
8x 3 ln 3xdx |
3x |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dv 8x 3 dx |
v 8x 3 dx 4x2 3x |
|
||||||||
|
|
3x ln 3x 4x2 3x dx |
|
|
|
||||||
uv vdu 4x2 |
4x2 |
3x ln 3x 4x 3 dx |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
4x2 3x ln 3x |
4x2 |
3x C 4x2 3x ln 3x 2x2 3x C |
|||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вопрос 17.
Решение.
Применяем формулу интегрирования по частям (смотри параграф 1.1.3.).
3x 2 sin 4x 3 dx |
|
u 3x 2 |
du 3dx |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
dv sin 4x 3 dx |
v sin 4x 3 dx |
cos 4x 3 |
|||
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
uv vdu 14 cos 4x 3 3x 2 14 cos 4x 3 3dx 14 cos 4x 3 3x 2
34 cos 4x 3 dx 14 cos 4x 3 3x 2 34 14 4cos 4x 3 dx
14 cos 4x 3 3x 2 163 cos 4x 3 d 4x 3
14 cos 4x 3 3x 2 163 sin 4x 3 C =
161 (3sin 4x 3 12x 8 cos 4x 3 ) C .
Вопрос 18.
33
Решение.
Применяем формулу интегрирования по частям (смотри параграф 1.1.3.).
(3x 2)e4x 3dx |
|
u 3x 2 |
|
du 3dx |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
dv e |
4x 3 |
dx |
v e |
4x 3 |
dx |
e |
4x 3 |
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
uv vdu (3x 2) 14 e4x 3 14 e4x 33dx (3x 2) 14 e4x 3 34 e4x 3dx
(3x 2) 14 e4x 3 34 14 e4x 3 4dx (3x 2) 14 e4x 3 163 e4x 3d 4x 3
(3x 2) 14 e4x 3 163 e4x 3 C
Приведем подобные множители и получим окончательный ответ: e4x 3(34 x 165 ) C
Тема 5. Интегралы тригонометрических функций (часть 5)
(смотри параграф 1.1.4.).
Вопрос 19.
Решение.
Так как степень у косинуса четная, то для решения этого интеграла применяем формулу понижения степени (половинного
аргумента): cos |
2 |
x |
|
1 cos x |
. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
cos2 2x |
1 cos 4x |
dx |
1 |
dx |
1 |
cos 4xdx |
1 |
x |
1 |
|
1 |
sin 4x C . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
Приведем подобные множители и получим окончательный ответ:
x sin 4x C . 2 8
Вопрос 20.
34
Решение.
Так как степень у синуса четная, то для решения этого интеграла применяем формулу понижения степени (половинного
аргумента): sin |
2 x |
|
1 cos x |
. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin 2 3x |
1 cos6x |
dx |
1 |
dx |
1 |
cos6xdx |
1 |
x |
1 |
|
1 |
sin 6x C . |
|||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
6 |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приведем подобные множители и получим окончательный ответ:
x sin 6x .
C
2 12
Вопрос 21.
Решение.
Интегралы такого вида решаются через формулы
tg2x |
1 |
1 , |
ctg2x |
1 |
1 |
в зависимости от подынтегрального |
|
|
|
||||||
cos2 x |
sin 2 x |
||||||
|
|
|
|
|
выражения. В нашем случае получим:
|
ctg2 |
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
1 dx |
|
dx |
ctg2x x C |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
sin 2 2x |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
sin 2 2x |
|
|
|
|
|
|||||
Вопрос 22.
Решение.
Интегралы такого вида решаются через формулы
sin mx cos nx 12 sin( m n)x sin( m n)x , sin mx sin nx 12 cos(m n)x cos(m n)x ,
cos mx cos nx 12 cos(m n)x cos(m n)x в зависимости от
подынтегрального выражения. В нашем случае получим:
sin 2x sin 4xdx 12 (cos 2x cos6x)dx 12 cos 2xdx 12 cos6xdx
35
12 12 sin 2x 12 16 sin 6x C 14 sin 2x 121 sin 6x C .
1.3.Задания для тренировки
Приведенные ниже задачи аналогичны разобранным в параграфе 1.2. и предназначены для самостоятельного решения. Для удобства студентов после каждого вопроса приведен правильный ответ. Все задачи разбиты по темам как в базе теста.
Тема 1. Табличные интегралы
Вопрос 1
+
+
-
-
Тема 2. Табличные интегралы (часть 2)
Вопрос 2
Правильный ответ:
36
Вопрос 3
Правильный ответ:
Тема 3. Интегралы (часть 3)
Вопрос 4
Правильный ответ:
Вопрос 5
Правильный ответ:
Вопрос 6
Правильный ответ:
Вопрос 7
Правильный ответ:
37
Вопрос 8
Правильный ответ:
Вопрос 9
Правильный ответ:
Тема 4. Интегралы (часть 4)
Вопрос 10
Правильный ответ:
Вопрос 11
Правильный ответ:
Тема 5. Интегралы (часть 5)
Вопрос 12
Правильный ответ:
Вопрос 13
38
Правильный ответ:
Вопрос 14
Правильный ответ:
Вопрос 15
Правильный ответ:
Тема 7. Интегралы тригонометрических функций (часть 5)
Вопрос 16
Правильный ответ:
Вопрос 17
Правильный ответ:
Вопрос 18
Правильный ответ:
39
2.Определенный интеграл
2.1.Необходимый теоретический материал
2.1.1. Понятие и геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла используют в ряде практических задач, в частности в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной силой, нахождению среднего значения функций и т. д.
Рис.1.
Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезкеa,b функцию y f (x) , график которой изображен на рис. 1.
Разделим отрезок a,b на п частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A0 , A1, A2 ,..., An в порядке возрастания следующим образом: x0 , x1, x2 ,..., xn . Обозначим отрезки
x0 , x1 x1, x1, x2 x2 и т.д. На каждом из отрезков xi возьмем одну точку ci .