Пособие_к_тесту_Интегрирование

n
Составим f (ci ) xi	интегральную сумму функции y f (x)

на отрезке a, b .i 1

Если существует конечный предел интегральной суммы функции y f (x) на отрезке a, b при стремлении к нулю величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разбиения данного отрезка на части и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции

n b

на данном отрезке и обозначают: lim f (ci ) xi a f (x)dx .

max xi 0 i 1

Процесс вычисления определенного интеграла называют интегрированием. При этом аналогично тому, как это имело место для неопределенного интеграла, функцию f(x) называют подын-

тегральной функцией, а переменную х – переменной интегриро-

вания. Числа a и b (границы отрезка интегрирования a, b ) на-

зывают соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке a, b , если на этом отрезке существует определенный интеграл от этой функции.

Существует теорема, в соответствии с которой достаточными условиями интегрируемости функции на некотором отрезке являются ее ограниченность и непрерывность на этом отрезке.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y f (x) , осью абсцисс и прямыми линиями x a, x b , численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке a, b ( при условии, что такой интеграл существует). В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла. (см. рис. 1.).

2.1.2.Основные свойства определенного интеграла

1.При перемене местами пределов интегрирования величина определенного интеграла изменяется на противоположную:

ab f (x)dx ba f (x)dx .

41

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

abk f (x)dx k ab f (x)dx .

3. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых:

ab( f (x) (x))dx ab f (x)dx ab (x)dx .

4. Если отрезок интегрирования a, b точкой c разбить на отрезки a, c и c, b , то:

ab f (x)dx ac f (x)dx cb f (x)dx .

2.1.3. Формула Ньютона-Лейбница

ab f (x)dx F(b) F(a)

Определенный интеграл – это приращение первообразной функции f (x) на отрезке a, b .

Как следует из этой формулы, для вычисления определенного интеграла достаточно найти какую-либо из первообразных для подынтегральной функции (естественно, на практике выбирают ту из них, которая имеет наиболее простой вид) и из ее значения, соответствующего верхнему пределу интегрирования, вычесть значение, соответствующее нижнему пределу. При этом для нахождения первообразных простейших функций можно использовать таблицу, где перечислены простейшие неопределенные интегралы.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл 12 x2dx.

Решение. Первообразной для функции x 2 , имеющей наиболее простой вид, является, согласно формуле 1 из таблицы простейших

		x3
	интегралов, функция		. Поэтому		в			соответствии						с формулой
		3
	Ньютона–Лейбница имеем: 2 x2dx			x3			2		1	(23 13 )	1			(8 1)	7	.
							1
		1			3			3			3				3
	Пример 2. Вычислить определенный интеграл										2 cos xdx.
								0

42

Решение. Первообразной для функции cos x , имеющей наиболее простой вид, является, согласно формуле 10 из таблицы простейших интегралов, функция sin x . Поэтому в соответствии с формулой Ньютона–Лейбница имеем:

02 cos xdx sin x 02

sin 2 sin 0 1 0 1.

Отметим, что в отличие от результата нахождения неопределенного интеграла результат вычисления определенного интеграла не может быть проверен дифференцированием, поскольку последний является не функцией, а числом, производная которого в любом случае равна нулю.

											2
Пример 3.	Вычислить определенный интеграл e x dx .
											1
2						2 e2 e e(e 1) .
Решение. e x dx e x
1						1				0.5			dx
Пример 4. Вычислить определенный интеграл																.
											0	1 x2
0.5		dx					0.5 arcsin	1
Решение.						arcsin x			arcsin 0			0
								2			6			6
	1 x		2
0							0

2.2. Образцы решений типовых заданий

Тема 7. Интегралы (часть 6)

Вопрос 1.

Решение.

По формуле Ньютона-Лейбница (смотри параграф 2.1.3.):

43

2	sin xdx cos x	2				(0 ( 1))	1.
			cos		cos
				2

При решении этого примера учитывалось, что cos x - четная функция, т.е. cos( ) cos 1 .

Вопрос 2.

Решение.

По формуле Ньютона-Лейбница (смотри параграф 2.1.3.):

	6		1			6
		cos 2xdx		sin 2x
			2
	2					2

	1								1
		sin 2			sin 2					sin			sin
	2			6			2		2			3

	1															3
							1			3
			sin		sin								0						.
	2						2			2						4
			3

При решении этого примера учитывалось, что sin x - нечетная функция, т.е. sin( 3 ) sin 3 23 .

2.3. Задания для тренировки

Тема 6. Интегралы (часть 6)

Вопрос 19

44

Правильный ответ: 32 .

Вопрос 20

Правильный ответ: 3 1 . 2

3.Приложения определенного интеграла

3.1Необходимый теоретический материал

3.1.1.Вычисление площадей плоских фигур

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла.

Задача о вычислении площади плоской области К, ограниченной произвольной замкнутой линией, может быть сведена к задаче нахождения площади криволинейной трапеции.

Например, площадь области, изображенной на рис. 2, можно найти как разность площадей двух криволинейных трапеций.

y	f1(x)

f2(x)

x

0

Рис. 2

45

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной y x и y x2 (рис. 3).

Решение. Прежде всего, надо построить графики функций y x и y x2 , а также найти координаты точек пересечения данных функций, для чего необходимо приравнять правые части уравнений

y x и y x2 .
Получим: x x2							или			x2			x 0 x(x 1) 0. Таким образом,
y x и y x2		имеют точки пересечения x 0 и x 1. Далее находим
y(0) 0 и	y(1)	1, для чего подставляем либо в y x , либо в																y x2
вместо x соответственно 0 и 1.
Для вычисления площади заштрихованной части надо из
площади OABD вычесть площадь OCBD, т.е.
1	1		x	2		x	3				1			1		1
S xdx x2dx (								)	10								.
0	0	2			3					2			3			6

Рис. 3

3.1.2. Вычисление работы переменной силы

Работа переменной силы, действующей на материальную точку при перемещении ее из точки x a в точку x b , численно равна определенному интегралу от этой силы на отрезке a, b :

A ab f (x)dx .

Пример 1. Найти величину работы, которую необходимо совершить для растяжения пружины от равновесного положения на

величину l 0,1 м, если коэффициент упругости пружины k 100 Hм .

46

Решение. В соответствии с законом Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу F(x) = kx.

Подставив это выражение в формулу A ab f (x)dx , получим в

общем виде зависимость работы А приложенной силы от растяжения пружины:

A l	kxdx k	x2		l		kl2		100 0,12		1	( Дж).
				0
0	2				2			2		2

3.2. Образцы решений типовых заданий

Тема 8. Площадь фигуры ограниченной линиями

Вопрос 1.

Решение.

Прежде всего, надо построить графики функций y 10x и y 5x2 (рисунок практически такой же как рис.3. для примера 1 из параграфа 3.1.1), а также найти координаты точек пересечения данных функций, для чего необходимо приравнять правые части

уравнений y 10x и y 5x2 .		или 5 x2 2x 0 5x(x 2) 0.
Получим:	10x 5x2		Таким
образом, y 10x	и y 5x2	имеют точки пересечения x 0	и x 2.
Далее находим	y(0) 0 и	y(2) 20 , для чего подставляем либо в

y 10x , либо в y 5x2 вместо x соответственно 0 и 2.

Для вычисления площади заштрихованной части надо из площади OABD вычесть площадь OCBD, т.е.

2	2	2	10x2			5x3				2			x		2		20
								2
S 10 xdx 5 x			dx (				)	0	5x		(1			)	0			.
0	0		2			3							3				3

Вопрос 2.

47

Решение.

1	2x	5				2		2
S 2x4dx				10			5(1 0)		.
	5					5		5
0

Рис. 4

Вопрос 3.

Решение.

1	2x	6				1			1
S 2x5dx				10				(1 0)		.
0	6					3			3

Рис. 5

48

Вопрос 4.

Решение.

	1	1						10		4
	S 2			dx 2ln		x 3			2(ln 4 ln 3) 2ln		.
		x 3								3
	0

Вопрос 5.

Решение.

1		2x	2				x2 3x
S	2x 3 dx			3x		10		10 (4 0) 4 .
		2
0

Рис. 6

Тема 9. Физический смысл

Вопрос 6.

49

Решение.

Задачи, подобные этой, решаются через определенный интеграл:

x2		Mx			2	dx
								. Для нашего примера это будет выглядеть так:
		x		x
x1			2				1
2 6x2dx									x3			2	2x3		2	2 8 1 14 .
							6
		2 1							3						1
1												1

Вопрос 7.

Решение.

Для нашего примера это будет выглядеть так:

6	3x2dx		3 x3					6	1	x3		6	1	216	1 43 .
	6 1		5 3						5				5
1								1				1

Вопрос 8.

Решение.

В соответствии с законом Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу F(x) = kx.

Подставив это выражение в формулу A ab f (x)dx , получим в

общем виде зависимость работы А приложенной силы от растяжения пружины:

A	2,1		x2		2,1		100 2,12
		100xdx 100			0			220,5.
0			2				2

50