- •1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат
- •1. Полярная система координат.
- •1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.
- •2.1 Понятие вектора
- •4.3 Проекция вектора на направление другого вектора
- •5.1 Определение векторного произведения
- •5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов
- •5.3 Свойства векторного произведения
- •7.2 Плоскость
- •7.3 Прямая в пространстве
- •7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •8.1 Определение предела
- •8.2 Свойства пределов
- •8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •8.4 Первый замечательный предел
- •9.1 Определение функции одной переменной
- •9.2 Способы задания функции
- •9.3 Основные свойства функции
- •9.4 Основные элементарные функции. Их графики
- •10.1 Односторонние пределы
- •10.2 Определение непрерывности функции
- •10.2 Классификация точек разрыва функции
- •11.1 Определение второго замечательного предела
- •11.2 Следствия из второго замечательного предела
- •13.1 Определение приращения функции
- •13.2 Определение производной функции
- •13.3 Свойства производной функции
- •13.4 Производные основных функций
- •13.5 Производные обратных функций
- •14.1 Определение гиперболических функций
- •14.2 Производные гиперболических функций
- •14.3 Производные сложных функций
- •14.4 Производные высших порядков
- •15.1 Параметрическое задание функций
- •15.2 Производные параметрических функций
- •15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
- •16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
- •16.2 Свойства дифференциала
- •17.4 Теорема Лагранжа
- •17.5 Правило Лопиталя
- •17.6 Производная от функции в степени функции
- •18.1 Определение экстремума
- •18.2 Условия существования экстремума
- •18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •18.4 Точки перегиба графика функции
- •19.1 Вертикальные асимптоты
- •19.2 Наклонные асимптоты
- •20.1 Определение степенного ряда
- •20.2 Ряд Тейлора
- •20.3 Ряд Маклорена
20.2 Ряд Тейлора
Рассмотрим функцию . Найдемкоэффициенты разложения этой функции в степенной ряд по степеням :
(20.2)
1) Подставим в равенство (20.2) , получим:
Следовательно, коэффициент равен значению функциив точке .
2) Продифференцируем равенство (20.2):
Теперь подставим в последнее равенство , получим:
Следовательно, получили коэффициент
.
3) Найдем производную второго порядка левой и правой частей равенства (20.2):
Теперь подставим в последнее равенство , получим:
Следовательно, получили коэффициент
.
Находя производную третьего порядка и подставляя , получим:
.
Таким образом, выполняя последовательное дифференцирование степенного ряда, получим все коэффициенты разложения. Подставляя эти коэффициенты в выражение (20.2) получим ряд Тейлора:
(20.3)
20.3 Ряд Маклорена
Если в формуле ряда Тейлора обозначить: , то получим ряд Маклорена:
(20.4)
Пример 1
Найдем разложение в ряд Маклорена функции .
Подставляя найденные коэффициенты в равенство (20.4), получим:
(20.5)
Это разложение дает нам возможность приближенно вычислить значение постоянной .
Подставим в (20.5) , получим:
Пример 2
Найдем разложение в ряд Маклорена функции .
Подставляя найденные коэффициенты в равенство (20.4), получим:
(20.6)
Аналогично получаем ряды Маклорена для функции:
(20.7)