- •1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат
- •1. Полярная система координат.
- •1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.
- •2.1 Понятие вектора
- •4.3 Проекция вектора на направление другого вектора
- •5.1 Определение векторного произведения
- •5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов
- •5.3 Свойства векторного произведения
- •7.2 Плоскость
- •7.3 Прямая в пространстве
- •7.4 Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •8.1 Определение предела
- •8.2 Свойства пределов
- •8.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •8.4 Первый замечательный предел
- •9.1 Определение функции одной переменной
- •9.2 Способы задания функции
- •9.3 Основные свойства функции
- •9.4 Основные элементарные функции. Их графики
- •10.1 Односторонние пределы
- •10.2 Определение непрерывности функции
- •10.2 Классификация точек разрыва функции
- •11.1 Определение второго замечательного предела
- •11.2 Следствия из второго замечательного предела
- •13.1 Определение приращения функции
- •13.2 Определение производной функции
- •13.3 Свойства производной функции
- •13.4 Производные основных функций
- •13.5 Производные обратных функций
- •14.1 Определение гиперболических функций
- •14.2 Производные гиперболических функций
- •14.3 Производные сложных функций
- •14.4 Производные высших порядков
- •15.1 Параметрическое задание функций
- •15.2 Производные параметрических функций
- •15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке
- •16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл
- •16.2 Свойства дифференциала
- •17.4 Теорема Лагранжа
- •17.5 Правило Лопиталя
- •17.6 Производная от функции в степени функции
- •18.1 Определение экстремума
- •18.2 Условия существования экстремума
- •18.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •18.4 Точки перегиба графика функции
- •19.1 Вертикальные асимптоты
- •19.2 Наклонные асимптоты
- •20.1 Определение степенного ряда
- •20.2 Ряд Тейлора
- •20.3 Ряд Маклорена
9.1 Определение функции одной переменной
Рассмотрим два множества и.
Если существует некоторый закон, ставящий в соответствие каждому элементу множества единственный элемент множества , то говорят, что на множествезадана функция со значениями во множестве
.
Обозначение: .
При этом множество называетсяобластью определения функции , а множество областью значений этой функции.
Элементы множеств иназываютсяпеременными.
Переменная называетсяаргументом, а переменная называется функцией.
9.2 Способы задания функции
1. Аналитический.
- уравнение, характеризующее зависимость между переменными.
2. Графический
3. Табличный
9.3 Основные свойства функции
1. Постоянная функция.
График постоянной функции представляет собой прямую линию, параллельную оси .
2. Четные и нечетные функции.
Функция называетсячетной, если выполняется равенство .
График четной функции симметричен относительно некоторой прямой, как правило, - относительно оси .
Функция называетсянечетной, если выполняется равенство .
График нечетной функции симметричен относительно некоторой точки, как правило, - относительно начала координат, т.е. точки.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция является функцией общего вида.
3. Периодические функции.
Функция называетсяпериодической с периодом Т, если выполняется равенство .
9.4 Основные элементарные функции. Их графики
ЛЕКЦИЯ 10
Непрерывность функции
10.1 Односторонние пределы
Правосторонним пределом функции при , называется предел данной функции, когда аргумент стремится к своему пределу, точке , справа, т.е. оставаясь больше . Обозначается такой предел так:
Левосторонним пределом функции при , называется предел данной функции, когда аргумент стремится к своему пределу, точке , слева, т.е. оставаясь меньше . Обозначается такой предел так:
10.2 Определение непрерывности функции
Функция называется непрерывной в точке , если для данной функции в этой точке существуют конечные левосторонний и правосторонний пределы, равные между собой, и равные значению функции в точке , т.е. выполняется равенство:
Функция, непрерывная во всех точках некоторого отрезка, называется непрерывной на отрезке.
Если условия непрерывности функции не выполняются, функция называется разрывной.
10.2 Классификация точек разрыва функции
1. Разрыв 1-го рода.
Говорят, что функция в точке терпит разрыв 1-го рода, если для этой функции в данной точке существуют конечные односторонние пределы, но эти пределы НЕ РАВНЫ между собой.
2. Разрыв 2-го рода.
Говорят, что функция в точке терпит разрыв 2-го рода, если для этой функции в данной точке хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.
Сумма, разность, произведение, частное (если делитель отличен от нуля) непрерывных функций – являются непрерывными функциями.
Примеры непрерывных функций
Пример1. Рассмотрим функцию . Найдем предел этой функции при.
Решение
Очевидно то, что этот предел не изменится при . Данная функция являетсянепрерывной на всей числовой оси.
Пример2 Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.
Решение
Данная функция является непрерывной на всей числовой оси.
Примеры разрывных функций
Пример1. Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.
Решение
1) , т.к.
2) , т.к.
Таким образом, функция приимеетконечные, не равные между собой односторонние пределы. Следовательно, точка является для этой функцииточкой разрыва 1-го рода.
Пример2 Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.
Решение
1) 2)
Таким образом, функция приимеетбесконечные пределы. Следовательно, точки являются для этой функцииточками разрыва 2-го рода.
ЛЕКЦИЯ 11
Второй замечательный предел