Математика.ТР Определенные интегралы
.pdf
|
|
|
|
|
Вариант №1 |
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
R |
|
|||||
|
R |
ex µ1 + |
|
¶dx; |
|
|
|
|
¼=4 |
e¡x |
3) |
2 |
xe¡xdx; |
||
1) |
0 |
cos2 x |
1 |
||||
|
R |
|
|
|
|
0 |
|
2) |
¼=3 |
sincosxx dx; |
|
4) |
|
x sin 2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
¼=4 |
¼=4 e
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x2; y = 0; x = 1; x = 2; |
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
¼ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) y = cos x; y = 0; x = 4 |
; x = 2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
RR xydxdy; D : fx = y; x = y2g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
(12x3y3 ¡ 6xy)dxdy; |
D : fx = 1; y = x2; y = ¡p |
x |
g; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
RR |
y sin xydxdy; D : fy = ¼=2; y = ¼; x = 1; x = 2g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Изменить порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
1¡x2 |
|
1 |
|
y |
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
1) |
¡R |
|
pxR2 2 |
|
R |
R |
R |
lnRy |
|||||||||||||
|
dx |
|
|
|
f(x; y)dy; |
|
3) dy |
|
|
|
f(x; y)dx + |
dy |
f(x; y)dx. |
||||||||
|
1 |
|
+1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
2) Ra dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2aR¡x |
f(x; y)dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0x
5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fx = 5 ¡ y2; x = ¡4yg; |
в) F : fy = x; y = 2x; x + y = 6g. |
б) F : fy = ln x; y = ¡1; x ¡ y = 1g; |
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
б) |
RR e¡x2¡y2 dxdy; |
D : fx2 |
+ y2 6 100; x 6 0g. |
а) |
f(x; y)dxdy; |
D : fx2 |
¡ 2x + y2 6 0; y2 ¡ 2y + x2 6 0g; |
D
RR
D
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = 2 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;
б) z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 0; x = 1; x = ¡1; y = 1; y = ¡1; в) z = xy4 ; x2 + y2 = 400; z = 0; (x; y; z > 0).
1
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y5 = 1; x > 0; y > 0; ½(x; y) = x + y.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x + y = 2; x = 2; y = 2.
10.Найти длину дуги следующих кривых:
|
¼ |
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||
а) y = ¡ ln j cos xj; |
|
|
6 x 6 |
|
; |
|
|
|
|
||
4 |
3 |
|
|
|
|||||||
б) r = a(1 + cos ') – кардиоида. |
|
|
|
||||||||
11. Вычислить криволинейные интегралы: |
|||||||||||
а) ydx + zdy + xdz; |
L : fx = cos t; y = sin t; z = t; 0 6 t 6 2¼g; |
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
x |
|
y |
|
|||
б) R xdy; L – отрезок прямой |
+ |
= 1 от точки (a; 0) до (0; b). |
|||||||||
a |
|
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. Тройные интегралы: |
|
|
|
||||||||
а) |
RRR |
D : fz = xy; y = x; x = 1; z = 0g; |
|||||||||
xy2z3dxdydz; |
D
б) найти объём тела, ограниченного поверхностью: x2 + y2 + 4z2 = 1.
2
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №2 |
|
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
R |
|
|||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¼=4 |
x |
|
x |
|
2 |
|
¼=3 |
|
||
1) |
0 |
³sin |
2 |
¡ cos |
2 |
´ |
dx; |
3) |
0 |
tg xdx; |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
¡ |
|
¼=2 |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
2) |
|
ex ln x cos xdx; |
|
|
4) |
1 |
(x 7) sin xdx. |
||||
|
|
|
|
¼=4
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x3; y = p |
|
; |
|
|
|
|
2) xy = 1; x = 1; x = 4; y = 0. |
|||
x |
|
|
|
|||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|||||||
1) |
RR |
e2x¡3ydxdy; |
D : |
f |
x = 0; y = 0; 2x + y = 0 |
g; |
||||
|
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
RR2¼ |
|
|
D : fx2 + y2 6 9; y > |
2 |
x + 3g; |
||||
D |
(3x + y)dxdy; |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
R cos2 xdx R ydy. |
|
|
|
|
|
|
00
4.Изменить порядок интегрирования:
2 |
2¡x |
|
|
|
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
x |
|
2 |
|
2 x2 |
|
||||
1) ¡R6 dxx2=R4¡1 f(x; y)dy; |
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
R |
|
||
3) |
0 |
dx |
0 |
f(x; y)dy + |
1 |
|
dx |
0¡ |
f(x; y)dy. |
2) R1 dx Rx2 f(x; y)dy;
00
5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = x2; y = 2 ¡ xg; |
в) F : fy > 2 ¡ x; y > x ¡ 4; 0 6 y 6 2g. |
б) F : fy = 9 ¡ x2; y = x2 ¡ 9g; |
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
а) |
f(x; y)dxdy; D : fx2 |
¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 = 0; y = x; y = p3xg; |
||||
|
RR |
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
||
б) |
RR p |
|
|
D : fx2 + y2 6 Rx; x 6 0g. |
||
R2 ¡ x2 ¡ y2dxdy; |
||||||
|
D |
|
|
|
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = y2 ; 2x + 3y ¡ 12 = 0; 2
б) y2 + z2 = x; z = 0; x = y;
в) z = 0; 2 ¡ x ¡ y ¡ 2z = 0; y = x2; y = x.
3
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями:
3y = x2; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:
xy = a2; xy = 2a2; x = 2y; 2x = y; (x; y > 0).
10. Найти длину дуги следующих кривых:
а) y = a ln |
|
a2 |
|
; 0 6 x 6 b < a; |
||||||||
a2 ¡ x2 |
||||||||||||
б) x = 2t; y = 3t2; 0 6 t 6 1. |
|
|||||||||||
11. Вычислить криволинейные интегралы: |
||||||||||||
а) |
ydx + xdy; |
|
L – четверть окружности fx = r cos t; y = r sin t; 0 6 t 6 ¼=2g; |
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
L : fy = x2g от точки (0; 0) до (2; 4). |
|||
б) R (x2 ¡ y2)dx + 3dy; |
||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Тройные интегралы: |
|
|
|
|||||||||
а) |
RRR |
|
|
|
|
|
D : fx2 + y2 + z2 = 1; z = 0; z > 0g; |
|||||
xzdxdydz; |
||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) найти объём тела, ограниченного поверхностями: |
||||||||||||
|
|
x2 |
+ |
y2 |
|
= 2z; |
x2 |
+ |
y2 |
= 1; z = 0; b > a > 0. |
||
|
|
a |
b |
a2 |
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
Вариант №3 |
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|||||
e2 p |
|
|
|
|
1=2 |
||
ln x |
|
|
|
||||
1) R0 |
|
|
dx; |
3) |
R0 |
arccos xdx; |
|
|
x |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
2) R0 |
x |
dx; |
4) |
R0 |
ln (1 + x)dx. |
||
x3 + 1 |
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2; x = 0; |
2) y2 = 4x; x = 3. |
|||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|||||||
1) |
RR |
x2 |
D : f0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1g; |
|
||||
|
|
|
|
|
dxdy; |
|
||
D |
|
1 + y2 |
|
|||||
2) |
RR sin x + ydxdy; |
D : fx = y; y = ¼=2; x = 0g; |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|||
3) R |
dy R (x ¡ y)dx. |
|
|
0y
4.Изменить порядок интегрирования:
1 |
|
x2 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
2¡p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||
|
x; y dy |
|
|
3 |
|
|
|
4¡x2 |
2 |
|
4¡x2 |
|
|||||||||||||
1 |
|
p1¡x |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
R |
|
|
|
|
R |
f(x; y)dy. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1) R0 dxxR3 |
f( |
|
|
) ; |
|
|
3) 0 dx |
0 |
|
|
f(x; y)dy+p3 dx |
|
0 |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) ¡R1 dx R0 |
|
|
f(x; y)dy; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) F : |
f |
y = x2 + x; y = 2 + x |
g |
; |
в) F : |
f |
x = py; y = 0; x + y = 2 |
g |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) F : fy = (x ¡ 1)2; y = 0; x = 0; x = 2g;
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
а) RR f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 = 0; y2 ¡ 4y + x2 = 0; y = x; x = 0g;
D
б) RR dxdy; D : fx2 + y2 = 4; x + y = 2g. Здесь D – меньшая из 2-х областей.
D
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) x + z = 6; z = 0; y = px; y = 2px;
б) z = xy3 ; z = 0; x2 + y2 = 3x; x; y; z > 0;
в) y = x2; x = y2; z = 0; z = 12 + y ¡ x2.
5
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = x2 ¡ 1; y = x + 1; ½(x; y) = 2y + 1.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:
y = x2; x + y = 2; y = 0.
10. Найти длину дуги следующих кривых:
а) y = |
x2 |
1 |
ln x; 1 6 x 6 e; |
|
|
¡ |
|
||
4 |
2 |
б) r = a'; 0 6 ' 6 2¼ – архимедова спираль.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) R y2dx + x2dy; L – верхняя половина эллипса fx = a cos t; y = b sin tg;
L
б) R (xy ¡ y2)dx + xdy; L : fy = 2x2g от точки (0; 0) до (1; 2).
L
12. Тройные интегралы:
а) RRR (x + y + z)dxdydz; D : f0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b; 0 6 z 6 cg;
D
б) определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса R, с центром в начале координат: ½(x; y) = °0.
6
|
|
|
|
|
|
|
Вариант №4 |
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
R |
||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
¼=4 |
2 |
5 |
|
|
¼=4 |
|||
1) |
¼=3 |
µ |
cos2 x |
¡ |
sin2 x |
¶dx; |
3) |
0 |
x2 cos xdx; |
|
¼=6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2) |
R0 |
cos3 x sin 2xdx; |
|
4) |
R0 |
(4 ¡ x)e¡3xdx. |
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
1) x = p3 |
|
|
; x = 1; y = 1; |
2) y = p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y ¡ 2 |
x; y = x. |
|
|
|
|||||||||||||||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
RR (x ¡ y)dxdy; D : fy = 2 ¡ x2; y = 2x ¡ 1g; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
D |
x sin (x + y)dxdy; D : f0 6 x 6 ¼; 0 6 y 6 |
2 |
g; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
RR |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
RR |
|
|
|
dxdy; |
D : fxy = 1; y = x; x = 2g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Изменить порядок интегрирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1¡x2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2a2¡x2 |
|
|
|
||||||||
1) |
¡R |
|
|
¡p1R¡x |
|
f(x; y)dy; |
2) |
R0 |
3 |
R |
|
|
|
||||||||
dx |
|
|
dx |
|
|
f(x; y)dy; |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
2¡x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) R0 |
dx R0 |
f(x; y)dy + R1 |
dx |
R0 |
f(x; y)dy. |
||||||
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла: |
|
|
|
||||||||||||||||||
а) F : |
|
f |
y = |
x2 |
; y = 4x ; |
б) F : fy = 2x; y = 0; x = 3; x = 0g; |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
g |
в) F : fx2 + (9 + y)2 = 9; x; y 6 0g. |
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
а) |
RR |
|
y |
2 |
2 |
2 |
2 |
¡ 6x + y2 |
x |
|
p |
||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
arctg |
|
dxdy; |
D : fx |
+ y |
= 1; x |
+ y |
= 9; y = p |
|
; y = |
|
3xg. |
|||
|
x |
|
|
||||||||||||
D |
3 |
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) z = 0; x2 + y2 = 1; x + y + z = 4;
б) z2 = x2 + y2; z = 0; x2 + y2 ¡ 4x = 0; в) x2 + y2 + z2 = 9; x; y; z > 0.
7
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = x2 ¡ 3; 3x + y = 1; ½(x; y) = x2y2.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:
|
|
(x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 = a2; x = 0; y = 0; 0 6 x 6 a. |
||||
10. |
Найти длину дуги следующих кривых: |
|||||
|
а) y = 2 ch |
x |
; 0 6 x 6 2; |
|||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x = cos2 t; y = sin2 t; 0 6 t 6 ¼=4. |
|||||
11. |
Вычислить криволинейные интегралы: |
|||||
|
а) |
R |
|
|
|
|
|
ydx ¡ xdy; L – отрезок прямой от точки (0; 0) до (1; 2); |
|||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
б) |
R |
|
|
L – арка циклоиды: fx = t ¡ sin t; y = 1 ¡ cos t; 0 6 t 6 2¼g. |
|
|
(2 ¡ y)dx + xdy; |
|||||
|
|
L |
|
|
|
|
12. |
Тройные интегралы: |
|
||||
|
а) RRR |
|
dxdydz |
; D : fx + y + z = 1; x = 0; z = 0g; |
D(1 + x + y + z)3
б) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; y = x; y = x2.
8
|
|
|
|
|
Вариант №5 |
|
|
1. Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|||||
|
¼=4 |
|
|
|
|
1 |
|
1) |
R |
tg2 xdx; |
3) |
R0 |
arcsin xdx; |
||
0 |
|||||||
|
R |
|
|
|
|
0 |
|
|
¼=3 |
|
cos |
|
2 |
|
|
2) |
|
|
|
dx; |
4) |
R |
x2e¡2xdx. |
¼=4 |
|
sin x3x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:
|
|
|
x2 |
2) y = sin x; y = 0; x = ¼=3; x = ¼=2. |
|||
1) |
y = x; y = |
|
|
; |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||
3. Вычислить двойные интегралы: |
|||||||
2) |
RR x2ydxdy; D : fy = x2; y = xg; |
||||||
1) |
(6xy ¡ 12x3y3)dxdy; |
D : fx = 1; y = x2; y = ¡p |
x |
g; |
|||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
RR¼ |
2 |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
3) |
R sin2 xdx R ydy. |
|
|
|
00
4.Изменить порядок интегрирования:
2 |
2¡y |
|
|
|
x2 |
|
|
p |
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
2 x3 |
|
||||||
1 |
p |
|
|
R |
R |
R |
|
|
R |
|
||
1) R1 |
dy R0 |
|
|
f(x; y)dx; |
3) |
|
dx 0 |
f(x; y)dy + 1 |
dx |
¡ |
f(x; y)dy. |
|
|
|
0 |
0 |
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) R |
dy R f(x; y)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0y
5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = ¡x2; x + y + 2 = 0g; |
в) F : f9x2 + y2 = 9; x 6 0; y > 0g. |
||
б) F : fy = 2p |
|
|
|
x; y = 8 ¡ x; y = 0g; |
|
6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:
а) f(x; y)dxdy; |
D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 = 0; y = x; y = 0g; |
D |
p |
RR |
|
б) RR (x2+y2)dxdy; |
D – область ограниченная дугой окружности x2+y2 = 25; лежащей в I |
D |
|
четверти, и прямыми линиями y = x; y = 3x.
7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
а) x2 + y3 + z6; x = 0; y = 0; z = 0;
б) z = x2 + y2; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0; в) z = 4 ¡ y2; z = 0; y = 21x2 .
9
8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y2 = 9; y > 0; ½(x; y) = c.
9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины прямоугольной формы: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0).
10.Найти длину дуги следующих кривых:
а) r = a(1 ¡ cos ') – кардиоида;
б) x = 3t3; y = 3t ¡ t3; 0 6 t 6 1.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) |
xdy ¡ ydx; L : fx = 2(t ¡ sin t); y = 2(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 2¼g; |
L |
|
R |
2xydx + x2dy; L – отрезок прямой от точки (0; 0) до (2; 4). |
б) R |
|
L |
|
12. С помощью тройного интеграла найти:
а) объем фигуры F : fz = x2 + y2; x2 + 2x + y2 = 0; z = 0g;
б) найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями: z = 21y2 ; x + 3y ¡ 12 = 0; x = 0; y = 0; z = 0.
10