Математика.ТР Дифференциальные уравнения
.pdfВариант №1
Решить дифференциальные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
y0 |
= (1 ¡ x2)y; |
|
|
|
|
|
9) |
y0 + y tg x = y4 sin3 x; |
|||||||||||||||||||||
2) |
y0 |
= |
|
x + y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
y00 |
= |
1 |
|
|
|
¡ x; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
¡ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||
3) |
y0 + 2xy = e¡x2+x; |
|
|
|
|
|
11) |
yy00 = (y0)2; |
|
|
|
|||||||||||||||||||
4) |
y0 |
= |
|
y |
+ 3 tg |
y |
; |
|
|
|
|
|
12) |
xy00 = y0 ln |
y0 |
; |
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdy = (y + 3x2)dx |
|
|||||||||||||
|
xdy |
|
|
|
|
ydx |
|
|
|
x2 |
|
y2dx |
|
|
|
|||||||||||||||
5) |
2 |
y0 |
¡ |
|
|
2 |
|
= p |
+ |
|
|
|
; |
13) |
|
|
3 |
)y0 = 1; |
; |
|||||||||||
6) |
x |
+ y |
|
= 4; |
|
|
|
|
|
|
|
14) |
(xy + y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15¤) 6xy2y0 + 2y3 + x = 0 |
|||||||||||||
7) |
y0 |
¡ |
|
|
= ln x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8) |
xyy0 |
|
= 1 ¡ x2; |
|
|
|
|
|
|
Указание: ввести новую функцию |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(x) = y3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Линейные однородные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) y00 |
¡ 3y0 + 2y = 0; |
|
|
|
|
|
5) y00 |
¡ 4y0 + 4y = 0; |
|
|||||||||||||||||||||
2) y00 |
+ 2y0 + y = 0; |
|
|
|
|
|
6) |
y00 |
+ 3y0 |
= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||||||||||||||||||||
3) y00 |
+ 2y0 + 5y = 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
y00 |
¡ 4y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 9y = 0. |
|
||||||||||||||||||||||||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1) |
y00 |
¡ 4y0 + 3y = 2x + 7; |
|
|
4) |
y00 |
+ 2y0 |
+ 2y = cos 4x; |
||||||||||||||||||||||
2) |
y00 |
¡ 6y0 |
+ 9y = 2 sin 3x + 4 cos 3x; |
5) |
y00 |
¡ 5y0 = 2x + ex; |
|
|||||||||||||||||||||||
3) |
y00 |
¡ 2y0 + y = ex; |
|
|
|
|
|
6) |
y00 |
¡ 3y = x ¡ cos 2x; |
||||||||||||||||||||
7) |
y00 |
+ 6y0 |
+ 13y = 3e2x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8)y00 ¡ 5y0 + 6y = x2 + 3, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + 16y = 2x3 + 3x + 7; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + 3y0 |
+ 2y = |
e¡x |
|
; |
2) y00 |
+ 2y0 + 2y = cos 4x; |
2 + e |
x |
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
||||
|
|
|
|
неоднородные уравнения" .
1
Вариант №2
Решить дифференциальные уравнения:
1) y0 = (8 + x3)y;
2) y0 = xy + cos xy ;
3) y0 + 2xy = (1 + x)e¡x2 ;
4) y0 = x + 2y ;
2y ¡ x
5)y0 tg x ¡ y = 1;
6)y0 ¡ y = 1 + px; x x
7)p1 ¡ y2dx + yp1 ¡ x2dy = 0;
9)y2 + x2y0 = xyy0;
10)y00 = 2yy0;
11)y00(x2 + 1) = 2xy0;
12)y00 ¡ x = x sin x;
13)y0x2 sin y = 2xy0 ¡ y;
14)(4xy ¡ 3)y0 + y2 = 1;
15¤) y0 + xy2 ¡ x3y ¡ 2x = 0;
8) |
y0 |
|
1 |
; |
|
Указание: ввести новую функцию |
|||
¡ y tg x = |
|
|
u(x) = x2 ¡ y. |
||||||
cos x |
|
||||||||
Линейные однородные уравнения: |
|
|
|
||||||
1) y00 |
+ y0 ¡ 6y = 0; |
5) y00 |
¡ 2y0 ¡ 8y = 0; |
||||||
2) y00 |
+ 4y0 + 4y = 0; |
6) |
y00 |
+ 5y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
|||||
3) y00 |
¡ 4y0 |
+ 8y = 0; |
|||||||
|
|
|
|||||||
4) |
y00 |
¡ y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 16y = 0. |
||||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
||||||
1) |
y00 |
¡ 6y0 |
+ 13y = 3x + 1; |
4) |
y00 |
¡ y0 ¡ 12y = sin 3x; |
|||
2) |
y00 |
¡ 7y0 |
+ 12y = 5 sin 2x ¡ cos 2x; |
5) |
y00 |
¡ 4y0 = 3x + 2e4x; |
|||
3) |
y00 |
+ 10y0 + 25y = e¡5x; |
6) |
y00 |
¡ 9y = x2 + sin 7x; |
||||
7) |
y00 |
¡ 7y0 |
+ 10y = 4e3x, при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 + 2y0 + 17y = 2x2 + 3x, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + 81y = 4x3 + x + 2; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 |
¡ |
3y0 |
+ 2y = |
1 |
|
; |
2) y00 ¡ y0 ¡ 12y = sin 3x; |
2 + e¡ |
x |
||||||
|
|
|
|
|
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
неоднородные уравнения" .
2
Вариант №3
Решить дифференциальные уравнения:
1) (xy2 + y)dx + (y ¡ x2y)dy = 0;
2) xdy ¡ ydx = ydy;
3) y0 + 2xy = e¡x2 sin 2x;
4) xy0 + y2 = 9;
5) pxy0 = y + 2xe2px;
6) y0 + sin x + y = sin x ¡ y ; 2 2
7)y0 ¡ xy = sin3 xy2;
8)y0 = xy (1 + ln y ¡ ln x);
Линейные однородные уравнения:
y
9) y0 = ex + xy ;
10) y00 = y0 + x; x
11)y00 = 1 ;
1 + x2
12)yy00 = (y0)2 ¡ (y0)3;
13)dx = 2y(y2 + x)dy;
14)dy ¡ xy2dx = 2xydx;
15¤) xy0 + axy2 + 2y + bx = 0;
Указание: ввести новую функцию y = u(x) ¡ ax1 .
1) y00 |
+ 3y0 |
+ 2y = 0; |
5) y00 |
¡ 6y0 |
+ 5y = 0; |
||
2) |
y00 |
¡ 10y0 + 25y = 0; |
6) |
y00 |
+ 2y0 |
= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
|
3) y00 |
+ 8y0 |
+ 7y = 0; |
|
|
|
|
|
4) |
y00 |
+ y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 25y = 0. |
||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
|||
1) |
y00 |
+ 7y0 |
¡ 8y = 4x + 5; |
4) |
y00 |
+ y0 + 12y = cos 4x; |
|
2) |
y00 |
¡ 5y0 |
+ 4y = 2 sin 6x + cos 6x; |
5) |
y00 |
¡ 6y0 |
= 5x + sin x; |
3) y00 ¡ 6y0 + 9y = e3x; |
6) y00 ¡ 16y = 4x + 3 + e¡x; |
||||||
7) |
y00 |
+ 9y0 |
¡ 10y = 3e7x, при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
|
8)y00 ¡ 7y0 + 6y = 5x2 + 8, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + y = 7x3 + 4x ¡ 7; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
|
9e3x |
2) y00 + y0 + 12y = cos 4x; |
|
1) y00 ¡ 9y0 + 18y = |
|
; |
|
1 + e¡3x |
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
||
|
|
|
неоднородные уравнения" . |
3
Вариант №4
Решить дифференциальные уравнения:
|
+ r |
1 |
y2 |
|
|
1) y0 |
1 |
¡ |
|
= 0; |
|
x2 |
|||||
|
|
|
¡ |
|
|
2)x ln xy dy ¡ ydx = 0;
3)xy0 + y0 = ln x;
4)y0 + x1 y = xy2;
5)y0 sin x = y ln y;
6)(1 + x2)y0 ¡ 2xy = (1 + x2)2;
7) y0 = |
2xy |
; |
|
x2 ¡ y2 |
|||
|
|
8)y0 = x + 3y ; x ¡ 3y
Линейные однородные уравнения:
9) y ¡ xy0 = 3(1 + x2y0);
10) y00 = 1 ¡ x2; cos2 x
11)2y0 = 3y2;
12)y00 + x1 y0 = ¡x2(y0)2;
13)y0 + 2y ¡ y2ex = 0;
14)e¡y(dx + dy) = dx;
15¤) x2(y0 ¡ y2) ¡ 3x2y + 3x + 2 = 0;
Указание: ввести новую функцию u(x) = xy ¡ 1.
1) y00 |
¡ 6y0 + 8y = 0; |
|
5) y00 |
+ 2y0 ¡ 8y = 0; |
|||
2) y00 |
+ 8y0 + 16y = 0; |
|
6) |
y00 |
¡ 3y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||
3) y00 |
¡ 2y0 + 5y = 0; |
|
|||||
|
|
|
|
||||
4) |
y00 |
+ 4y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 36y = 0. |
||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
||||
1) |
y00 |
¡ 2y0 |
¡ 8y = 8x ¡ 1; |
|
4) |
y00 |
+ 9y0 + 8y = sin 3x; |
2) |
y00 |
+ 6y0 |
+ 8y = 4 sin 5x ¡ cos 5x; |
5) |
y00 |
¡ 7y0 = 7x + e2x; |
|
3) |
y00 |
¡ 8y0 |
+ 25y = e4x; |
|
6) |
y00 |
+ 5y = ¡x ¡ 2 sin x; |
7) |
y00 |
+ 2y0 |
+ y = 5e¡8x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 ¡ 10y0 + 25y = 2x2 ¡ 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 ¡ y = 4x3 ¡ 2x + 1.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + 6y0 + 8y = |
4e¡2x |
; |
2) y00 |
+ 9y0 + 8y = sin 3x; |
2x |
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
|||
|
2 + e |
|
неоднородные уравнения" .
4
Вариант №5
Решить дифференциальные уравнения:
1) y0 = (49 ¡ x2)y;
2) y0 = 2xy ; x2 ¡ y2
3)y0 ¡ y = 1 2 ; x 1 + ln x
4)y0 + y tg x = y4 tg x;
5)y0 = xy ¡ ctg xy ;
6)y0x2 = y2 ¡ 2x2;
7)x3y0 + y = y2;
8)y0 + 1 y = y2 ; x x
Линейные однородные уравнения:
9)yy0 = 1 ¡ 2x; y
10)x2y00 + xy0 = 1;
11)y00 = ln x ¡ x3;
12)yy00 ¡ (y0)2 = y2y0;
13)(1 ¡ x2)y0 + x2 = yx2;
14)(y2 + xy2)y0 + x2 = yx2;
15¤) yy0 + y2 + 4x(x + 1) = 0;
Указание: ввести новую функцию u(x) = y2.
1) y00 |
+ 2y0 ¡ 8y = 0; |
|
5) y00 |
¡ 8y0 + 7y = 0; |
|||||
2) y00 |
¡ 2y0 + y = 0; |
|
6) |
y00 |
¡ 5y0 |
= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
|||
3) |
y00 |
+ 6y0 |
+ 13y = 0; |
|
|||||
4) |
y00 |
+ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 64y = 0. |
||||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
|||||
1) |
y00 |
¡ 6y0 |
+ 13y = ¡4x + 8; |
|
4) |
y00 |
+ 2y0 |
+ 2y = cos 7x; |
|
2) |
y00 |
¡ 7y0 |
¡ 8y = ¡2 sin 3x + 4 cos 3x; |
5) |
y00 |
+ 6y0 |
= 4x + e8x; |
||
3) |
y00 |
+ 12y0 |
+ 36y = e¡6x; |
|
6) |
y00 |
+ 8y = ¡x + cos 4x; |
||
7) |
y00 |
¡ 10y0 |
+ 25y = ¡3e¡7x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 ¡ 8y0 + 25y = 7x2 ¡ 4x + 7, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 ¡ 81y = 7x3 + 2x + 1; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + y = |
1 |
; |
2) y00 + 12y0 + 36y = e¡6x; |
|
sin x |
||||
|
|
Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные |
неоднородные уравнения" .
5
Вариант №6
Решить дифференциальные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
y0 sin3 x cos2 x = y2 + 1; |
|
|
9) |
y ¡ xy0 = 4(1 + x2y0); |
|||||||||||||||||
2) |
2xydx ¡ (x2 + y2)dy = 0; |
10) |
y00 |
¡ x ln x = 0; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e¡x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
3) |
y0 |
+ 2xy = |
|
|
|
|
|
; |
|
|
11) |
y00 |
+ |
|
|
(y0)2 = 0; |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 ¡ y |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
y0 |
+ |
|
|
y = p |
|
; |
|
|
12) |
y00x ¡ ln x = y0; |
|||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
||||||||||||||||||||
5) |
y0 + xy2 = 0; |
|
|
13) |
x2y0 + y2 ¡ 2xy = y0; |
|||||||||||||||||
6) |
y0 cos x + y sin x = 1; |
|
|
14) |
ydx + (x ¡ yey)dy = 0; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15¤) (y2 + x4)y0 ¡ 4x3y = 0; |
||||||||
7) y0 |
= |
|
¡ 7; |
|
|
|
||||||||||||||||
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
Указание: ввести новую функцию |
|||||||||||
8) |
(x ¡ y) cos |
|
dx + x cos |
|
dy = 0; |
|
y = §u2(x). |
|||||||||||||||
x |
x |
|
||||||||||||||||||||
Линейные однородные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) y00 |
¡ 2y0 ¡ 15y = 0; |
|
|
5) y00 |
¡ y0 ¡ 12y = 0; |
|||||||||||||||||
2) y00 |
+ 18y0 + 81y = 0; |
|
|
6) |
y00 |
¡ 7y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||||||||||||||||
3) |
y00 |
+ 4y0 + 18y = 0; |
|
|
||||||||||||||||||
4) |
y00 |
+ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 4y = 0. |
|||||||||||||||||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
y00 |
+ 5y0 ¡ 24y = ¡5x + 7; |
4) |
y00 |
¡ y0 |
¡ 56y = cos 4x; |
||||||||||||||||
2) |
y00 |
+ 26y0 |
+ 169y = 6 cos 4x ¡ 5 sin 4x; |
5) |
y00 |
+ 6y0 = 7x + 6e7x; |
||||||||||||||||
3) |
y00 |
+ 6y0 + 9y = e¡3x; |
|
|
6) |
y00 |
¡ 6y = ¡x + 1 + 2 sin 3x; |
|||||||||||||||
7) |
y00 |
¡ 11y0 |
+ 28y = 5e6x, |
|
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 ¡ 4y0 + 29y = ¡4x2 ¡ 5x + 2, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + 25y = 6x3 ¡ 5x + 2.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + y0 = |
1 |
|
; |
2) y00 ¡ y0 ¡ 56y = cos 4x; |
1 + e |
x |
|||
|
|
|
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
|
|
|
|
|
неоднородные уравнения" .
6
Вариант №7
Решить дифференциальные уравнения:
1)e¡y(1 + y0) = 1;
2)x ln xy dy ¡ ydx = 0;
3)y0 + 2xy = e¡x2 ctg 3x;
4)xdy + ydx = ydy;
5)y0 = xy ¡ cosec xy ;
6)xy0 + y = 1;
7)xy0 + y = ln x;
8)y ¡ xy0 = 2(1 + x2y0);
Линейные однородные уравнения:
9) y0 + y tg x = y00 tg2 x;
10) y00 + x2 = 1 ; cos2 x
11) 2y00 = 3y2;
12) y00 + x1 y0 = ¡x2(y0)2;
13) sin xdx = (y cos x ¡ sin2 x)dx; x2
14¤) 3y2y0 + y3 ¡ x ¡ 1 = 0;
Указание: ввести новую функцию y = x2u(x).
1) y00 |
+ 6y0 + 8y = 0; |
|
5) y00 |
+ 6y0 |
¡ 7y = 0; |
|||
2) y00 |
¡ 8y0 + 4y = 0; |
|
6) |
y00 |
¡ 2y0 |
= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||
3) y00 |
¡ 6y0 |
+ 13y = 0; |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
4) |
y00 |
¡ 16y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 81y = 0. |
|||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
||||
1) |
y00 |
+ 8y0 |
+ 25y = 7x + 5; |
|
4) |
y00 |
+ 10y0 ¡ 9y = sin 8x; |
|
2) |
y00 |
+ 9y0 |
+ 8y = sin 4x ¡ 2 cos 4x; |
|
5) |
y00 |
¡ 7y0 |
= 2x + cos 2x; |
3) y00 |
¡ 12y0 + 36y = 3e3x; |
|
6) y00 |
¡ 9y = ¡x ¡ e3x; |
||||
7) |
y00 |
¡ 9y0 |
+ 8y = 4e2x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 + 8y0 + 17y = 3x2 + 2x ¡ 10, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + 100y = 8x3 ¡ 7x2 + 4; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + 4y = |
4 |
; |
2) y00 ¡ 12y0 + 36y = 3e3x; |
|
sin 2x |
||||
|
|
Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные |
неоднородные уравнения" .
7
Вариант №8
Решить дифференциальные уравнения:
1) |
y0 |
= 2x+y; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
2) |
xy0 = y + |
|
|
|
|
; |
||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||
3) y0 + 2xy = (3x + 4)e¡x2 ; |
||||||||||||
4) |
y0 |
= |
|
4x + y |
; |
|
|
|
|
|||
4x ¡ y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
y0 |
tg x ¡ y = 2; |
|
|||||||||
6) |
y0 |
¡ |
y |
1 |
|
|
|
; |
||||
|
= |
|
||||||||||
x |
x + 1 |
7) p1 ¡ y2dx + yp1 ¡ x2dy = 0;
8) y0 ¡ y 2x ¡ 1 = 1; x2
Линейные однородные уравнения:
9)dy ¡ xdxy = ydxx ;
10)2yy00 ¡ 3(y0)2 = 4y2;
11)2xy00 = y0 + x;
12)y00 ¡ x ln x = sin 5x;
13)x ¡ yy0 = y2;
14)dy = (x + y)dx;
15¤) xyy0 ¡ y2 + ax3 cos x = 0;
Указание: ввести новую функцию u(x) = y2.
1) y00 |
¡ 9y0 + 8y = 0; |
|
5) y00 |
¡ 10y0 + 9y = 0; |
||||
2) y00 |
¡ 10y0 + 25y = 0; |
|
6) |
y00 |
¡ 6y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
|||
3) |
y00 |
+ 8y0 + 25y = 0; |
|
|||||
4) |
y00 |
+ 16y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 100y = 0. |
|||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
||||
1) |
y00 |
¡ 6y0 |
+ 13y = 5x + 4; |
|
4) |
y00 |
+ 8y0 |
+ 16y = cos 8x; |
2) |
y00 |
¡ 7y0 |
¡ 8y = 4 cos 2x ¡ sin 2x; |
5) |
y00 |
¡ 3y0 |
= 4x + sin 3x; |
|
3) y00 |
¡ 2y0 |
+ y = ¡7ex; |
|
6) y00 |
¡ 4y = ¡x + e2x; |
|||
7) |
y00 |
¡ 9y0 |
+ 8y = 8e3x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
|
8)y00 ¡ 2y0 + 5y = 3x2 + x ¡ 8, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 ¡ 100y = 8x3 ¡ 4x + 3.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
|
y00 |
|
2y0 + y = ex |
2) y00 + 8y0 + 16y = cos 8x; |
||
1) |
|
¡ |
|
x2 |
; |
Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные |
неоднородные уравнения" .
8
Вариант №9
Решить дифференциальные уравнения:
1)yy0 = 1 ¡ 2x; y
2)(y + x tg xy )dx = xdy;
3)xy0 + y ¡ ex = 0;
4) y0 |
¡ |
y |
= |
|
1 |
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
||||||||
x |
1 + ln2 x |
|
|||||||||
5) y0 |
¡ |
y |
= 1 + ln x; |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|||||||||
6) |
y0 cos x + y sin x = 1; |
|
|||||||||
7) |
xy0 = y(1 + ln y |
¡ |
ln x) |
; |
|||||||
|
|
|
|
2x ¡ 1 |
|
|
|||||
8) |
y0 |
¡ |
y |
= 1 |
; |
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
Линейные однородные уравнения:
9)(1 ¡ x2)y0 + xy = 2;
10)y00 ¡ x = 4 tg2 x;
11)y00 ¡ xex ¡ x2 = 0;
12)x3y00 + x2y0 = 0;
13)x2(y + 1)dx + (x3 ¡ 1)(y ¡ 1)dy = 0;
14)2x3y0 = y(2x2 ¡ y2);
15¤) 3xy2y0 + y3 ¡ 2x = 0;
Указание: ввести новую функцию u(x) = y3.
1) y00 |
+ 9y0 |
+ 8y = 0; |
|
5) y00 |
¡ 8y0 ¡ 9y = 0; |
|||
2) y00 |
+ 10y0 + 25y = 0; |
|
6) |
y00 |
¡ 7y0 |
= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||
3) |
y00 |
+ 8y0 |
+ 17y = 0; |
|
||||
4) |
y00 |
¡ 25y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 144y = 0. |
|||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|
||||
1) |
y00 |
+ 8y0 |
+ 25y = 5x + 8; |
|
4) |
y00 |
+ 2y0 |
+ 2y = sin 3x; |
2) |
y00 |
¡ 4y0 |
+ 3y = 3 sin 4x + 5 cos 4x; |
5) |
y00 |
¡ 8y0 |
= 7x + e¡x; |
|
3) |
y00 |
¡ 4y0 |
+ 4y = 3e2x; |
|
6) |
y00 |
+ 5y = 3x + 1 ¡ sin 5x; |
|
7) |
y00 |
+ 6y0 |
+ 8y = 5e9x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 + 3y0 + 2y = 7x2 + 4x ¡ 3, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 ¡ 4y = 7x3 + 2x2 ¡ 3.
Решить методом вариации произвольной постоянной:
1) y00 + 16y = |
16 |
; |
2) y00 ¡ 4y0 + 4y = 3e2x; |
|
sin 4x |
||||
|
|
Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные |
неоднородные уравнения" .
9
Вариант №10
Решить дифференциальные уравнения:
1) |
yy0 = |
1 ¡ 2x |
; |
|
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
||
2) |
xdy ¡ ydx = p |
|
dx; |
|||
x2 + y2 |
3)y0 + 2xy = lnxxe¡x2 ;
4)y ¡ xy0 = 2(1 + x2y0);
5
5)y0 + y tg x = y 2 sin x;
6)y0 = xy + 2 sec xy ;
7)(x + y)dx + xdy = 0;
8)p4 xy0 = 2y + 1;
Линейные однородные уравнения:
p
9) y0 + 2xy = cos2 2yx;
10) y00 = 1 ;
4py
11)2xy00 = y0;
12)y00 ¡ xex = x2;
13)dx = (2ye¡y2 ¡ 2xy)dy;
14)xy0 + 2y + x5y3ex = 0;
15¤) 3(y2 ¡ x2)y0 + 2y3 ¡ 6x(x + 1)y ¡ 3ex = 0;
Указание: ввести новую функцию u(x) = y3 ¡ 3x2y.
1) y00 |
¡ 8y0 + 12y = 0; |
|
5) y00 |
+ 8y0 ¡ 20y = 0; |
||||
2) y00 |
+ 14y0 |
+ 49y = 0; |
|
6) |
y00 |
+ 5y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1; |
||
3) y00 |
¡ 6y0 |
+ 10y = 0; |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
4) |
y00 |
¡ 7y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2; |
7) |
y00 |
+ 169y = 0. |
|||
Линейные неоднородные уравнения: |
|
|
|
|||||
1) |
y00 |
+ 3y0 |
¡ 18y = ¡5x + 8; |
|
4) |
y00 |
¡ 14y0 + 48y = sin 6x; |
|
2) |
y00 |
+ 2y0 |
+ 37y = 4 cos 8x ¡ 7 sin 8x; |
5) |
y00 |
+ 11y0 = x + e2x; |
||
3) |
y00 |
¡ 10y0 |
+ 25y = e5x; |
|
6) |
y00 |
¡ 11y = 2x ¡ 3 + sin 3x; |
|
7) |
y00 |
+ 24y0 |
+ 144y = 12e7x, |
при y(2) = 0, |
y0(2) = ¡1; |
8)y00 + 10y0 + 21y = ¡5x2 + 2x ¡ 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;
9)y000 + 100y = x3 + x2 + 1.
Решить методом |
вариации произвольной постоянной: |
1) y00 + y = 2 ctg x; |
2) y00 ¡ 10y0 + 25y = e5x; |
|
Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные |
|
неоднородные уравнения" . |
10