- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.3Частные производные первого и второго порядка
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6Приложение определенного интеграла в геометрии
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •4.1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •4.2 Ду первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •4.6 Однородные линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •5.3 Необходимый признак сходимости.
- •5.6Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •5.5Признак сравнения рядов
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
5.6Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Ряд наз-ся знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.
Пусть дан знакопеременный ряд a1+a2+…+an+…=(1), где числа a1, a2,…, an,… могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (2).
Определение: Если сходится ряд (2), то ряд (1) наз-ся абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, алгоритм ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно(или неабсолютно) сходящимся.
Теорема: Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.
Док-во: Пусть знакопеременный ряд (1) абсолютно сходится. Это значит, что сходится ряд (2). Обозначим через Sn частичную сумму ряда (1), алгоритм через σn – частичную сумму ряда (2):
Т.к. ряд (2) сходится, то последовательность {σn} его частичных сумм имеет предел , причем σn≤σ n (3), т.к. члены ряда (2) положительны. Обозначим далее через сумму положительных членов, алгоритм через -- сумму абсолютных величин отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn. Тогда:
(4)
(5)
Из рав-ва (5) следует, что {} и {} монотонно возрастают при возрастании n, алгоритм из (3) – что они являются ограниченными; Следовательно, существуют пределы
Тогда в силу равенства (4) последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел
алгоритм это значит, что ряд (1) сходится.
6.2.Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|
2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Док-во (основано на свойствах последовательностей).
1)Так как числовой ряд anx0n сходится, то anx0n =0. Это означает, что числовая последовательность {anx0n} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде
a0 + a1x0 (x/x0) + a2x02(x2/x02) +…+…= anx0n (x/x0)2
Рассмотрим ряд из абсолютных величин.
|a0| + |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…)
Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.
2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x*, | x*|> x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x* . В том числе должен сходится
и при x= x0, так как | x |< | x*| . Но это противоречит
предположению теоремы. Теорема доказана.