- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.3Частные производные первого и второго порядка
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6Приложение определенного интеграла в геометрии
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •4.1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •4.2 Ду первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •4.6 Однородные линейные ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •5.3 Необходимый признак сходимости.
- •5.6Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •5.5Признак сравнения рядов
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
=-1
x1,x2 = ; =I – мнимая единица
=-1z=a+bi; a,b , R- мнимая единица – комплексное число
a – действительная часть компл.числа, b- мнимая часть z
- a-bi – сопряженное z
z*=
Комплексные числа – вся плоскость, кроме оси ОХ
z=a+bi
4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
ур-ние вида: у”+py’+qy=f(x)(1) (f(x)не =0)
теорема: общ реш ур-ния 1 наход по формуле y=Z+Y, где Z=c1y1+c2y2 – общ реш соответств однор ур-ния. У-частное реш неоднор ур-ния(1)(без док-ва).
Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью. y”+py’+py=Pn(x), где ; Pn(x)-многочлен в степ n
1) не явл корнем характер ур-ния k2+pk+q=0
тогда частн реш исходн ур-ния исчем в виде Y=Qn(x), Qn(x)- мнг-лен степ n с неопред коэф
2) - явл однокр корнем характ ур-ния . Частн реш: Y=xe
3) - двукр корень характ ур-ния Частн реш: Y= x2e
5.2Сумма ряда.
Пусть дан числовой ряд а1+а2+а3+...+аn...
Составим суммы
S1=a1; S2=a1+a2; S3=a1+a2+a3; S n=a1+a2+…+an
Суммой S1, S2,…,S n - называются частичными суммами ряда, Они образуют бесконечную числовую последовательность.
1. Если существует lim S n равный S, то говорят, что ряд n →∞ сходится и его сумма равна S.
2. Если Lim S n не существует или равен бесконечности n →∞ , то говорят, что ряд расходится.
Гармонический ряд.
1+1/2+1/3+…+1/n+…
Докажем, что гармонический ряд расходится: предположим, что он сходится и имеет сумму S. Тогда (S2n-Sn) = S-S =0,
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…, (S2n-Sn) = 0,S2n-Sn1+1/2+1/3+1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n-(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n) = 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)>n*1/2n = ½,
S2n-Sn>1/2, (S2n-Sn) ≠ 0 (не может быть равен 0).
Мы пришли к противоречию, из чего следует, что гармонический ряд расходится.
5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
Пусть дана последовательность а1, а2, а3,…, аn ... Выражение а1+а2+а3+...+аn... называется числовым рядом. Числа а1, а2, а3 – называются членами ряда, аn - общий член ряда (n –ый член ряда)
1+1\2+1\4+1\8+1\16+...+1\2n+…=2
1\2+1\4+1\8+1\16+…+1\2n +...=1
Геометрический ряд.
Члены этого ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателе q
b1+b1q+b1q2+b1q3+…+b1qn-1+…
1) │q│< 1 S n =
= = /т.к.!q!<1/ =
Ряд сходится и его сумма S=, если│q│<1.
2) │q│>1 =+∞ (т.к. │q│>1)
3) q = 1
5.3 Необходимый признак сходимости.
Если ряд аn сходится, an=0
Доказательство:
Sn = a1+a2+…+an , Sn-1 = a1+a2+…+an-1, следовательно an = Sn-Sn-1 = an = Sn – Sn-1 = S-S=0, ч.т.д.
Следствие:
Если an не равно нулю, то ряд расходится. Доказательство:
Если предположить в этом случае, что ряд сходится, то из необходимого признака следует, что an = 0, что противоречит условию.Гармонический ряд.
1+1/2+1/3+…+1/n+…
Докажем, что гармонический ряд расходится: предположим, что он сходится и имеет сумму S. Тогда (S2n-Sn) = S-S =0,
1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…, (S2n-Sn) = 0,