6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех

x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L=| a_n/ a_n+1|

Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера.

| a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|=| a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зависимости от результатов этого исследования областью сходимости ряда может

быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]

6.4.Свойства степенных рядов .

Пусть функция S(x) есть сумма степенного ряд S(x)= a_nxⁿ ,x €(-R;R) .

Какие свойства функции S(x)?

Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x €(-R;R) . Причем ее производная S’(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда .

S’(x) = (a₀ + a₁x + a₂x²+…+ a_nxⁿ +…)’= a₁ + a₂x+…+ a_nx^n-1 +…

при этом радиус сходимости полученного ряда равен R.Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать.

Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (-R;R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x= ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.

2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.

3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.

5.5Признак сравнения рядов

Пусть даны 2 ряда с неотр членами

a₁+a₂+…..+a_n+….(1) a_n>=0

b₁+b₂+…+b_n+…(2) b_n>=0

и для всех n или начин с некотор номера n выполн неравенство a_n<=b_n(3) , тогда 1) из сход ряда (2) следует сход ряда (1)

2) из расход ряда 1, следует расход ряда (2)

док-во:1) обозн через S_n и _n – частичные суммы ряда (1) и (2). Т.к. ряд (2) сход то его част суммы _n ограниченны из нер-ва (3)=> что S_n =<_n => {S_n} тоже огранич. Т.к. члены ряда (1) не отриц, то последов частичн сумм S_n не убыв. Итак мы получ что послед S_n не убыв и огранич => она сход, а знач сходится и (1)

2) пусть (1) расход. Док-ем что (2) тоже расх. Предпол, что (2) – сход, а т.к. a_n=<b_n, то из первой части теоремы => (1) – сход, что противор усл теоремы => (2) расход

Призн сравн в пред форме.

Пусть члены ряда (1) , (2) полож и сущ => =L (0<L<)

Тогда эти ряды одновр сход или расход