1.2.2 Проявление тенденции динамики показателей

В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных колебаний. Для решения этой задачи в статистике существуют особые способы, которые называют методами выравнивания.

Выделяют три основных способа обработки динамического ряда:

а) укрупнение интервалов динамического ряда и расчет средних для каждого укрупненного интервала;

б) метод скользящей средней;

в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим формулам).

Укрупнение интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.

По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней первоначальных рядов. Для других случаев расcчитывают средние величины укрупненных рядов (переменная средняя). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

Скользящая средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода.

При четных периодах скользящей средней можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних.

Важнейшим способом количественного выражения общей тенденции изменения уровней динамического ряда является аналитическое выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы.

Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить:

1) используя полусумму уровней, расположенных рядом с интерполируемыми;

2) по среднему абсолютному приросту;

3) по темпу роста.

Способ определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией. Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем.

Экстраполировать можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

При аналитическом выравнивании может иметь место автокорреляция, под которой понимается зависимость между соседними членами динамического ряда. Автокорреляцию можно установить с помощью перемещения уровня на одну дату.

Автокорреляцию в рядах можно устранить, коррелируя не сами уровни, а так называемые остаточные величины (разность эмпирических и теоретических уровней).

Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности, которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период.

В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев.

Далее применим тенденцию динамики, применив прием сглаживания с помощью скользящей средней. Суть этого приема заключается в следующем: рассчитывается средний уровень с определенного числа первых по расчетам уровней. Подвижная средняя определяется как средняя арифметическая простая и относится к середине периода, за который она рассчитывается.

Полученные результаты расчета представлены в таблице 1.2.3.

1. Скользящая средняя:

, (1.2.17)

Пример вычисления за второй год(для количества груза):

ỹ₂ =(5374,95+5386,5+5768,7) / 3 = 5510,05.

Показатели скользящего среднего рассчитаны и сведены в таблицу 1.3

Таблица 1. 2.3

Года Показатели	1	2	3	4	5	6	7
Перегружено груза, тыс.т	5221,38	5232,60	5603,88	6262,80	5829,30	5742,60	6579,00
Перемещаемая трехлетняя масса		16057,86	17099,28	17695,98	17834,70	18150,90
Скользящее среднее		5352,62	5699,76	5898,66	5944,90	6050,30
Начислено доходов, тыс ден.ед	12529,68	12189,00	12904,02	16055,82	15650,88	18344,70	19627,86
Перемещаемая трехлетняя масса		37622,70	41148,84	44610,72	50051,40	53623,44
Скользящее среднее		12540,90	13716,28	14870,24	16683,80	17874,48

Проведем аналитическое выравнивание ряда по прямой. Уравнение прямой имеет следующий вид:

;

Для нахождения параметров а₀ и а₁ составим следующую системы нормальных уравнений:

В дальнейшем будем обозначать количество перегруженного груза – у, а начисленный доход – х.

Как видно из системы для ее решения не хватает и , потому составляем вспомогательную таблицу 1.4.

Таблица 1.2.4

t	t^2	y	t*y	х	t*х
1	1	5221,38	5221,38	12529,68	12529,68
2	4	5232,6	10465,2	12189	24378
3	9	5603,88	16811,64	12904,02	38712,06
4	16	6262,8	25051,2	16055,82	64223,28
5	25	5829,3	29146,5	15650,88	78254,4
6	36	5742,6	34455,6	18344,7	110068,2
7	49	6579	46053	19627,86	137395,02
Итого: 28	140	40471,56	167204,52	107301,96	465560,64

По полученным данным их таблицы составляем систему нормальных уравнений:

Для груза:

7а₀+28а₁ = 40471.56,

28а₀+140а₁ = 167204.52;

Для дохода:

7а₀+28а₁ = 107301.96,

28а₀+140а₁ = 465560.64;

Решая данные системы уравнений получаем следующие значения параметров:

Для груза:

а₀=5021.9,

а₁=189.94;

Для дохода:

а₀=10135.59,

а₁=1298.31;

Подставляя полученные значения параметров, получим уравнения прямой:

Для груза:

= 5021.9+189.94*t

_{Для дохода:}

= 10135.59+1298.31*t

Связь между количеством перегруженных грузов и периодом времени прямая.

Связь между величиной начисленных доходов и периодом времени прямая.

Подставляем значения времени t в полученные уравнения. Полученные результаты заносим в таблицу 1.2.5

Таблица 1.2.5

t
1	5211,84	11433,91
2	5401,77	12732,22
3	5591,71	14030,54
4	5781,65	15328,85
5	5971,59	16627,17
6	6161,53	17925,48
7	6351,47	19223,79
Итого	40471,56	107301,96

Проведем аналитическое выравнивание ряда по параболе. Уравнение параболы имеет следующий вид:

.

Для нахождения параметров _{, и} составим следующую систему нормальных уравнений:

.

Для построения систем уравнений составим вспомогательную таблицу 1.2.6

Таблица 1.2.6

t	t^2	t^3	t^4	y	t*y	t^2*y	х	t*х	t^2*х
1	1	1	1	5221,38	5221,38	5221,38	12529,68	12529,68	12529,68
2	4	8	16	5232,6	10465,2	20930,4	12189	24378	48756
3	9	27	81	5603,88	16811,64	50434,92	12904,02	38712,06	116136,18
4	16	64	256	6262,8	25051,2	100204,8	16055,82	64223,28	256893,12
5	25	125	625	5829,3	29146,5	145732,5	15650,88	78254,4	391272
6	36	216	1296	5742,6	34455,6	206733,6	18344,7	110068,2	660409,2
7	49	343	2401	6579	46053	322371	19627,86	137395,02	961765,14
Итого	140	784	4676	40471,56	167204,52	851628,60	107301,96	465560,64	2447761,32

По полученным данным из таблицы получаем систему нормальных уравнений:

Для груза:

Для дохода:

Решая данную систему уравнений, получаем следующие значения параметров:

Для груза:

.

Для дохода:

Подставляя полученные значения параметров, получаем уравнения параболы:

_{Для груза:}

_{Для дохода:}

Полученные расчеты представлены в таблице 1.2.7.

Таблица 1.2.7

t	Y	х
1	5191,07	12082,70
2	5401,77	12732,22
3	5604,17	13641,26
4	5798,26	14809,82
5	5984,05	16237,89
6	6161,53	17925,48
7	6330,70	19872,59
Итого:28	40471,55	107301,96

Аналитическое выравнивание (прямая или парабола) описывает лучше тенденцию динамики в том случае, когда сумма квадратов отклонений эмпирических данных () от теоретических () приближается к своему минимальному значению (). Полученные расчеты представлены в следующей таблице.

Таблица 1.2.8

t	Перегружено груза			Начислено дохода
	для прямой	для параболы	для прямой		для параболы
1	91,09	918,61	1200715,02		199789,96
2	28619,94	28619,88	295091,07		295091,01
3	148,04	0,08	1269040,87		543525,03
4	231503,95	215795,46	528483,30		1552522,48
5	20246,44	23946,76	953133,80		344581,33
6	175501,15	175499,75	175745,41		175744,74
7	51771,20	61652,59	163269,10		59891,94
Итого	507881,81	506433,13	4585478,58		3171146,48

Так как для уравнения параболы сумма квадратов отклонений эмпирических данных () от теоретических () меньше, чем для уравнения прямой, то уравнение параболы лучше описывает тенденцию динамики обоих показателей.

Прогноз изучаемого показателя на следующий год:

Для груза:

Для дохода:

Сделаем интервальный прогноз, который имеет следующий вид:

где - прогнозируемое значение;

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента (в таблице);

- остаточное среднеквадратическое отклонение от тренда, скорректированное по числу степеней свободы (n-m), которое находится по формуле:

Для груза: =355.82

Для дохода: =890.39

.

Таким образом,

Для груза:

.

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозируемое значение количества перегруженного груза от 5505.95 тыс.т. до 7477.19 тыс.т.

Для дохода:

.

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что прогнозируемое значение начисленных доходов не менее 19162.84 тыс.ден.ед. и не более 24545.58 тыс.ден.ед.

На основании данных (исходных и полученных), построим эмпирическую, сглаженную и теоретическую линии (рисунок 1.2.1 и 1.2.2).

Рис. 1.2.1

Рис. 1.2.2