1.4 Plus petit commun multiple
Mots à retenir
le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) (наименьшее общее кратное)
Règles
Le Plus Petit Commun Multiple de a et b est appelé le PPCM de ces nombres. On le note PPCM (a ; b).
Par exemple: trouver le PPCM de 12 et 15.
Multiples de 12 : 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ;...
Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75 ; 90 ; ...
Le premier multiple commun rencontré est 60. Donc le PPCM de 12 et 15 est égal à 60.
Méthode : Pour calculer le PPCM de plusieurs nombres, on décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. Le PPCM est fourni par le produit des facteurs premiers intervenant dans au moins l’une des décompositions.
Par exemple: trouver le PPCM de 21 et 15.
On trouve
que
et
d’où
PPCM(21 ;
15) =
Propriétés
1) Si a est un multiple de b, alors PPCM(a ; b) = a.
Par exemple: 60 est un multiple de 15, alors PPCM(60 ; 15)= 60.
2) Si deux nombres sont premiers entre eux , alors leur PPCM est égal à leur produit.
Par exemple:
36 et 77
sont premiers entre eux, alors PPCM
(36 ;
77)=
3)
PGCD
(a ;
b)
PPCM(a ;
b) =
a
b
.
Exercices
52) Dans chacun des cas suivants, déterminer le PPCM des entiers a et b :
a)
et
;
b)
et
;
c)
et
;
d)
et
e)
et
53) Calculer le PPCM des nombres suivants : a) 6 et 8 ; b) 12 et 16 ;
c) 72 et 99 ; d) 396 et 180 ; e) 34 ; 51 et 68 ; f) 168 ; 231 et 60.
54) Calculer le PPCM de 54 et de 65. Que peut-on déduire pour les nombres 56 et 81 ?
55) Déterminer le PGCD de 45 et de 135. Que peut-on déduire pour les nombres 45 et 135 ?
56) Trouver le PPCM des entiers a et b :
a)
et
b)
a = 504 et b = 540.
57) Trouver le PPCM de 66 000 et 17 500 .
58) Déterminer le PGCD et le PPCM des nombres suivants :
a) 2 450 et 3 500 ; b) 792 et 2 178 ; c) 378 et 441 ; d) 11 340 et 37 800 ;
e) 196 ; 140 et 210 ; f) 315 ; 420 et 168 .
59)
Calculer le PPCM
de
et de
60) Calculer le PPCM des nombres suivants en utilisant une méthode :
a) 168 ; 154 et 220 ; b) 420 ; 168 et 126 ; c) 324 ; 144 et 120.
61)
Trouver le PPCM
de
et de
62) Dans chacun des cas suivants, déterminer le PPCM des nombres :
a) 36 et 24 ; b) 21 ; 35 et 28 ; c) 360 ; 540 et 640 ; d) 32 ; 36 et 72.
63) Déterminer le PGCD et le PPCM des nombres suivants : a) 60 et 72 ;
b) 12 ; 18 et 25 ; c) 80 et 60 ; d) 24 ; 36 et 48 ; e) 16 ; 40 et 32.
1.5 Révision
1) Trouver tous les diviseurs des nombres suivants : a) 32 ; b) 5 ; c) 170 ;
d) 36 ; e) 121.
2) Dans les deux cas suivants, trouver les diviseurs communs aux nombres donnés : a) 36 et 48 ; b) 45 et 75.
3) Compléter, si possible, les phrases suivantes par les mots « multiple » ou « diviseur » :
a) 12 est un ... de 4. b) 9 est un ... de 54. c) 35 a pour ... 70.
d) 45 est un ... de 4 455. e) 48 a pour ... 4. f) 45 est un ... de 5.
g) 56 est un ... de 56. h) 12 est un ... de 24.
4) Trouver les 12 diviseurs de 500. Combien sont multiples de 2 ? Combien sont multiples de 5 ?
5) Parmi les nombres suivants : 732 ; 595 ; 1 418 ; 607 ; 104 ; 733 ; 9 000 ; 135 ; 182. Trouver ceux qui sont divisibles : a) par 2, b) par 3 ; c) par 5 ;
d) par 9.
6) Donner trois multiples consécutifs de 6.
7) Dans un nombre de 8 chiffres 1□9□9□5□ on doit remplacer les caces par des chiffres pour que le nombre obtenu soit divisible par 2, 5 et 9.
8) Trouver le PGCD des nombres suivants : a) 8 et 12 ; b) 48 et 60 ; c) 720 et 1 512.
9) Trouver deux nombres dont le PGCD est 2.
10) Dans chacun des cas suivants, déterminer si les nombres sont premiers entre eux : a) 15 et 32 ; b) 12 et 261 ; c) 475 et 152.
11) Calculer le PPCM des nombres suivants : a) 18 et 45 ; b) 30 et 40 ;
c) 210 et 350 ; d) 20 ; 70 et 15.
12)
Trouver le PPCM
de
et de
