5.3 Фазовая плоскость. Фазовые кривые. Особые точки на фазовой плоскости, их классификация.

Аналитический метод позволяет выполнить предварительный анализ и получить качественные характеристики исследуемой задачи; численный метод позволяет довести решение до конкретных результатов. Рассмотрим взаимодействие аналитических и численных методов на примере системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа подобной системы имеет вид: (1) Составим единственное уравнение Лагранжа: (2)

Вычисляя производные: (3)

получаем: (4) Это весьма сложное нелинейное дифференциальное уравнение; в общем случае оно поддается решению только численными методами. Однако перед тем, как применять такие методы, несколько видоизменим задачу. Целью решения уравнения (4) является поиск функции: (5) Поставим вместо этого задачу поиска функции: (6) Т.о., вместо поиска завис-ти обобщ. Коор-ты от времени мы будем разыскивать завис-ть обобщ-й скорости от обобщ-й координаты. Вычислим произв-ю: (7). Тогда (4): (8)

Это уже дифференциальное уравнение первого порядка относит-но искомой функции (6). Оно легко интегрируется. Приводя (8) к виду: (9) пол-ем:(10) т.е. закон сохранения энергии. Отсюда: (11)

Итак, решение вида (6) найдено. Проанализируем его подробнее. На рис.1 (сверху) изображен пример графика потенциальной энергии. Там же изображен уровень полной энергии Е. Очевидно, что потенциальная энергия не может быть больше полной (в (11) в этом случае получается отрицательное подкоренное выражение). Поэтому движение системы возможно только в тех областях, где . На рис.1 это либо область , либо . В точках , будет и обобщенная скорость равна нулю.

Рассмотрим теперь нижний график на рис.1. Здесь изображена плоскость , которая называется фазовой   плоскостью. Графики на этой плоскости, проведенные в соответствии с (11) или другим способом, называются фазовыми кривыми. Очевидно, что в данном случае эти кривые определены либо при , либо при . Каждая фазовая кривая, проведенная в соответствии с (11), будет располагаться симметрично относительно оси q. Соответствующие примеры фазовых кривых изображены на рис.1. Рассмотрим их подробнее. В случае постоянной приведенной массы a(q)=const график фазовой кривой очевидным образом взаимосвязан с графиком потенциальной энергии. Пусть, например, движение начинается из точки q=q₂. Имея в этой точке нулевую скорость, система начинает двигаться в сторону уменьшения потенциальной энергии (т.е. вправо) с увеличением скорости. Первый максимум скорости приходится на первый минимум потенциальной энергии. Окрестность минимума потенциальной энергии называется потенциальной ямой. Последующий рост потенциальной энергии вызывает уменьшение скорости. Минимум скорости достигается в точке максимума потенциальной энергии. Окрестность такой точки называется потенциальным барьером. Затем происходит спуск в новую потенциальную яму и рост скорости, а затем, с увеличением потенциальной энергии, уменьшение скорости вплоть до остановки в точке q=q₃. После этого движение продолжается в обратную сторону, т.е. с отрицательной скоростью вплоть до остановки в точке q=q₂ и т.д. Таким образом, движение на промежутке носит колебательный характер, что отражено в замкнутой форме фазовой кривой. Такое движение называется финитным, т.е. ограниченным.

В отличие от этого движение при является неограниченным и поэтому называется инфинитным. При положительной скорости система приближается к точке остановки q₁, после достижения которой изменяет знак скорости и удаляется влево.

В случае переменной приведенной массы однозначной связи между графиком потенциальной энергии и фазовой кривой уже нет, однако общий характер движения между точками остановки сохраняется.