Кинетическая энергия

Это мера механического движения тела она определяется работой которую нужно совершить что бы вызвать данное движение. Предполагаем, что некоторое тело находится в состоянии покоя на тело действует внешняя сила равнодействующая которой F сообщает телу ускорение. Поэтому можно записать второй закон Ньютона:

Под действием силы тело приобретает ускорение а со временем и скорость за малый промежуток времени dt совершается элементарное перемещение dS:

Учитывая что скорость V=dS/dt, а элементарная работа dA=FdS, переписываем уравнение в следующем виде:

Для того что бы за некоторое время t данному телу сообщить скорость V необходимо внешними силами совершить работу А, и данную работу можно трактовать как кинетическую энергию тела. Работа А будет равна сумме элементарных работ совершаемых силой за элементарный промежуток времени dt. Реально суммирование сводится к интегрированию.

При выводе выражения для кинетической энергии нами был использован второй закон Ньютона который справедлив в инерциальной системе отсчёта. В разных инерциальных системах отсчета движущиеся относительно друг друга скорости тела а следовательно его кинетическая энергия будет различной. Таким образом кинетическая энергия тела зависит от выбранной системы отсчёта.

Потенциальная энергия

Это часть общей механической энергии системы определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между телами. Потенциальная энергия вводится в том случае когда взаимодействие тел осуществляется по средствам силовых полей. Характерной особенностью которых является то, что их работа (работа сил этих полей) не зависит от формы траектории по которой движется тело под действием этих сил. Такие поля называются потенциальными, а силы действующие в них называются консервативными. Другой характерной особенностью потенциальных полей (консервативных сил определяющих эти поля) является то, что работа этих сил на замкнутом контуре равняется нулю. Свойство равенства нулю работы консервативной силы по замкнутому контуру следует непосредственно из того, что работа этих сил не зависит от траектории по которой под действием этих сил перемещается тело.

Математически консервативность некоторой силы действующем в потенциальном поле можно описать следующим образом:

Данная запись является интегральной формой представления консервативной силы F, тоесть она справедлива для некоторой макро области пространсва.

Для того что бы описать консервативность того или иного силового поля в микро области пространства ( в точке) вводят операторы векторного анализа (Rotar) который может быть определён так:

где: S – площадь поверхности замкнутой контуром L

В декартовой системе координат (Rotar) можно записать следующим образом:

rot a - это оператор векторного анализа. Это совокупность действующая под некоторой функцией в результате которой функция превращается в другую функцию. Он является векторным оператором и применяется к векторной функции. В результате действие это оператор на векторную функцию. Введя понятие rot можем рписать консервативные силы действующие в потенциальном поле.

rot F=0 (*)

(**)

Для того что бы доказать консервативность той или иной силы действующем в том или ином потенциальном поле нужно доказать что работа этой силы не зависит от формы траектории или, что работа этой силы на замкнутом контуре равна нулю. К консервативным силам относится сила тяжести, упругости, гравитационная, кулоновская. Кроме консервативных сил в природе встречаются не консервативные силы (диссипативные силы). Работа этих сил на замкнутом контуре не равна нулю. Работа этих сил зависит от формы траектории и работа этих сил на замкнутом контуре не равна нулю. К этим силам относится сила трения сила сопротивления сила стороны электрического поля при перемещении заряда в проводнике.

Потенциальная энергия тела находящаяся в потенциальном поле определяется с точностью до произведения постоянной, поэтому абсолютное значение потенциальной энергии зависит от выбора начала отсчета потенциальной энергии (от выбора нулевого уровня отсчёта потенциальной энергии, то есть того уровня где потенциальная энергия равна нулю). Выбор нулевого уровня при решении задач роли не играет так как в физических задачах нужно определить разность потенциалов энергий и зная вид потенциальной энергии определяют силу действующая в данном поле консервативных сил. Потенциальную энергию тела можно определить как работа которая совершает действие на его внешние силы преодолевая консервативные силы взаимодействия тела с потенциальным полем и перемещая данное тело из положения в котором потенциальная энергия равна нулю в то положение в котором потенциальная энергия принимает конечное значение. Исходя из данного определения потенциальной энергии можно установить взаимосвязь между потенциальной энергией и работой консервативных сил в поле которой тело обладает данной потенциальной энергией.

dП=-dА

где: dП – элементарные изменения потенциальной энергии П; dА – Элементарная работа в поле консервативных сил в поле которой тело обладает потенциальной энергией П.

Как было сказано выше характер потенциальной энергии и численных её коэффициентов определяет положение тела в поле консервативной силы и характером самой консервативной силы. Так тело находящееся в поле силы тяжести на высоте H от нулевого уровня отсчёта потенциальной энергии данного поля сил обладает потенциальной энергией.

Тело находящееся в поле силы упругости на расстоянии X от нулевого уровня отсчёта потенциальной энергии данного поля сил обладает потенциальной энергией.

где: К – жёсткость деформируемого тела.

Зная закон изменения потенциальной энергии в зависимости от координат можно установить зависимость изменения консервативной потенциальной силы от координат в поле которой тело обладает данной потенциальной энергией. Эту зависимость можно непосредственно установить из выражения

где: dr – элементарное перемещение; F – консервативная сила в поле которой тело обладает потенциальной энергией П. Это же выражение можно записать и в координатной форме.

Или можно записать по другому введя градиент. Градиент это оператор векторного анализа который действует на скалярную функцию и в результате его действия на скалярную функцию получается векторная функция. Градиент это вектор показывающий направление наибольшего изменения той скалярной функции на которую действует оператор градиент.

(2)

где:

Таким образом зная зависимость потенциальной энергии от координат можно определить зависимость поведенияч консервативной силы F от координат.

Соотношение (2) можно получить и иным образом оно следует из консервативности силового поля в котором действует сила F. Эта консервативность описывается так: rotF=0

Rot(gradП)=0

отсюда следует F=gradП, учитывая что dA=-dП следует

Полная механическая энергия: Состоит из кинетической и потенциальной энергии Е=Т+П