Законы сохранения

Тела образующие механическую систему могут взаимодействовать как друг с другом так и с другими телами которые не в ходят в данную механическую систему. Поэтому силы действующие на тела системы можно разделить на внутренние и внешние. Внутренними называются такие силы которые действуют на тела системы со стороны тел входящих в данную механическую систему Внешними называются силы которые действуют на тела системы со стороны тел не входящих в данную систему. В том случае если внешние силы отсутствуют система называется замкнутой. Реально замкнутых систем не существует, но существуют ситуации когда внешними силами можно принебреч или внешние силы компенсируют друг друга и тогда можно считать систему условно замкнутой. Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скорости тела которые могут не меняться в течении времени. Эти функции получили неазвание интегралов движения. Можно показать что для системы в n тел можно определить n-1 интегралов движения однако особый интерес представляют аддитивные интегралы движения. Для аддитивных интегралов движения справедлив принцип аддитивности или принцип суперпозиции. Согласно данному принципу для того чтобы определить интеграл движения всей системы необходимо разделить всю систему на подсистемы определить соответствующий интеграл движения каждой подсистемы, а результат интеграла движения всей системы определяется как алгебраическая или геометрическая сумма соответствующих интегралов движения подсистем входящих в данную систему. Таких интегралов движения для которых выполняется принцип аддитивности три. Это энергия, импульс и момент импульса. При определённых условиях для данных интегралов движения выполняются законы сохранения, тоесть при определённых условиях выше названные интегралы движения не меняются во времени.

Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему состоящую из n тел (материальных точек)

Каждое из этих тел имеет массу mi. Эти тела взаимодействуют как друг с другом так и с телами не входящимии в данную механическую систему. Под действием сил действующих на данные тела каждое из тел в соответствии со вторым законом Ньютона получит ускорение, а со временем и скорость. Поэтому для каждого из тел входящих в в данную механическую систему можно записать второй закон Ньютона

Для первого тела

+

Для второго тела

+

Для n-го тела

Где: Vi – скорость итого тела массой mi; Fi – равнодействующая всех внутренних сил действующих на тело массой mi; Fi’ – равнодействующая внешних сил действующих на тело массой mi.

Просуммируем уравнения системы и получим:

Учитываем, что mi*Vi=Pi, где Pi–импульс итого тела. Можно данное уравнения записать в следующем виде:

Так как импульс является аддитивной величиной то последние уравнение можно переписать

где: Р – суммарный импульс системы в соответствии с третьим законом Ньютона. Сумма всех внутренних сил действующих на тела данной системы равна нулю. Отсюда получает, что

(*)

где: сумма определяет равнодействующую всех внешних сил действующих на систему.

Из (*) можно увидеть условие при котором выполняется закон сохранения импульса. Импульс существует в том случае если равнодействующая всех внешних сил действующая на систему равна нулю (система замкнута) и будет оставаться постоянным. Таким образом закон сохранения импулься выполняется в замкнутой системе. Реально в природе замкнутых систем не существует, но систему можно считать замкнутой если выполняется хотябы один из представленных ниже случаев:

1. Внешние силы действуют на систему но они друг друга компенсируют.

2. Внутренние силы значительно больше внешних сил.

3. В проекции на некоторую ось равнодействующая внешних сил равна нулю. В этом слеучае сохнаняется лишь проекция импульса на эту ось.

Закон сохранения импульса (количество движения) справедлив не только для классической механики. Его можно применить как для механики больших скоростей так и для механики малых масс. Данный закон связан с однородностью пространства и заключается в том, что законы движения тел (и системы тел) не зависят от выбора системы координат.

В классической механике в виду независимости массы от скорости количество движения (импульс) тела может быть выражена через центр масс системы. Положение которого может быть определено следующим образом:

Рассмотрим систему состоящюю из n материальных точек имеющих массы mi.

Положение каждой материальной точки относительно системы отсчёта с центром в точке 0 определяется с помощью радиус вектора ri. Положение центра масс данной системы может быть определено следующим образом.

Таким образом центр масс можно трактовать как точку в которой сосредоточена вся масса тела и которая движется под действием внешних сил приложенных к данному телу (системе) так же как исамо тело (система) центр масс которой мы определяем. Скорость центра масс:

Так как сумма mi*Vi=Pi, где Pi – импульс итой частицы, а сумма , где: P – импульс системы

То есть импульс системы может быть определён как произведение массы системы на скорость центра масс.

С учётом введённой выше связи импульс системы и скорость центра масс системы

где: Fi – равнодействующая внешних сил действующая на внешние силы системы.

Из представленного выражения следует, что центр масс системы движется как материальная точка в которой сосредоточена вся масса данной системы и на которую действуют внешние силы действующие на данную систему. Из данного уравнения следует, что в случае замкнутой системы, когда равнодействующая всех внешних сил будет равна нулю, центр масс системы движется либо равномерно и прямолинейно либо находится в состоянии покоя.