Уравнение движения тела с переменной массой (уравнение реактивного движения)

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы. Примером такого движения является движение ракеты, масса которой будет уменьшаться за счёт истечения газов образовавшихся при сгорании топлива данной ракеты. На простейшем эксперименте было установлено, что если система увеличивает свою массу в каком либо направлении, то она получае дополнительное количество движения (импульс) в противоположном направлении.

Рассмотрим составление уравнения реактивного движения на примере движения ракеты. Предпологаем что в момент времени ракета имеет массу m и скорость t. В течении времени dt ракета выбросила часть топлива массой dm и поэтому масса ракеты t+dt=m-dm, а скорость ракеты относительно инерциальной системы отсчёта стала равна V+dV. Предпологаем, что относительно ракеты массой m-dm, сгоревшее топливо массой dm движется с некоторой скоростью U, тогда скорость вытекающих газов массой dm относительно неподвижной системы отсёта может быть определена следующим образом: V+U+dV.

Импульс системы ракета – сгоревшие газы в момент времени t+dt может быть определён как:

В момент времени t импульс системы P=mV тогда dP за промежуток времени dt

Предпологаем что на данную систему действуют внешние силы ранодействуящая которой будет равна F тогда исходя из второго закона Ньтона.

Полученное уравнение получило название уравнеие движение тела с переменной массой или уравнение реактивного движения это уравнение называется уравнением Мещерского. - реактивная сила.

Закон сохранения энергии

Определим условия при котором сохраниться такой аддитивный интеграл движения как энергия. Рассмотрим систему n частиц (n материальных точек) кахддая из которых имеет свою массу mi. Дод действием всех сил действующих на данную систему каждая частица получает ускорение, а со временем и скорость. Тогда для каждой частицы представленной системы можно записать основное начало динамики.

(*)

где: mi – масса итй частицы; Vi - скорость итой частицы; - равнодействующая внутренних консервативных сил действующих на итую частицу; - равнодействующая внутренних диссипативных сил дейсвующи на итую частицу; - равнодействующая внешних консервативных сил действующих на итую частицу; - равнодействующая внешних диссипативных сил действующих на итую частицу.

Получив скорость за малый промежуток времени dt каждая из частиц системы совершае перемещение dSi. Помножив левую и правую часть уравнения (*) на соответствующее dSi. Получим следующую систему уравнений.

(**)

Систему (**) можно преобразовать в виде следующих обозначений:

где: dTi – элементарное изменение кинетической энергии итой частицы за бесконечно малый промежуток времени dt.

Последнее выражение получилось из представленного ранее выражения.

dAk=-dП

где: dAk – элементарная работа консервативных сил; dП – элементарное изменение потенциальной энергии в поле этих консервативных сил. Поэтому dПi можно определить как элементарное изменение потенциальной энергии итого тела в поле внутренних консервативных сил.

где: - элементарная работа внутринних диссипативных сил

где: dПi’ – элементарное изменение потенциальной энергии тела с номером i в поле внешних консервативных сил.

где: - элементарная работа внешних диссипативных сил.

С учётом введённых обозначений систему (**) перепишем:

(***)

Почленно сложив уравнения данной системы получаем

Введя обозначения:

где: dT – элементарное изменение кинетической энергии системы; dП – элементарное изменение потенциалдьной энергии системы в поле внешних консервативных сил.; - элементарная работа внутренних диссипативных сил по перемещению тел в системе; - элементарная работа внешних диссипативных сил по перемещению тел в системе

С учётом введённых обозначений получим следующее уравнение:

(1)

где: dП0 – элементарное изменение потенциальной энергии системы в поле внешних и внутренних консервативных сил. Из полученного уравнения (1) следует условие сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия будет сохраняться только в консервативной потенциальной системе. Консервативной потенциальной системой называется система в которой действуют только консервативные силы.

dT+dП=0 (1’)

d(T+П)=0 (1’’)

В том случае если в системе действуют только консервативные силы уравнение 1 преобразуется к виду 1’ или к виду 1’’.

Из этих уравнений следует что полная механическая энергия системы:

является величиной постоянной. Из уравнения 1 следует, что в случае не консервативной системы в которой действуют диссипативные силы.

При действии в системе не консервативных сил в случае диссипативной системы выполняется закон сохранения полной механической энергии при этом часть механической энергии переходит в другие виды энергии например в тепловую. Та часть энергии которая переходит в иные виды энергии численно равны работе диссипативных сил. Таким образом энергия ни когда не может исчезнуть, а может перейти в иные виды энергии. (1) – является записью закона сохранения полной механической энергии в дифференциальной форме в случае бесконечно малых изменений. (1’) или (1’’) – является записью закона сохранения механической энергии в дифференциальной форме. При решении задач удобно пользоваться записью законов в интегральной форме. При макро перемещении тел в больших областях пространства. От интегральной к дифференциальной можно перейти. П – изменение потенциальной энергии при перемещении тела из некоторого положения 1 в положение 2.

где: Т – изменение кинетической энергии при перемещении тела из положения 1 в положение 2.

и - работа внутренних и внешних диссипативных сил по перемещению тела системы из положения 1 в положение 2. С учётом введённых обозначений закон сохранения полной энергии.

(2)

Т+П=0 (3)

Закон сохранения механической энергии связан с временной инвариантностью физических законов. Тоесть с независимостью действия этих законов от выбора начала отсчёта времени.

Тело падающее с некоторой высоты будет находиться в процессе движения определённое время независимо от того когда это движение началось.

Закон сохранения механической энергии (сил (1’) и (3)) можно трактовать как закон сохранения импульса. Превращение механической энергии в случае консервативной системы происходит перераспределение механической энергии между её составляющими. Говорит о том что потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

Все действующие системы являются диссипативными поэтому закон сохранения механической энергии не выполняется он является физической абстракцией. Закон сохранения полной энергии в природе выполняется так как часть механической энергии переходит в энергию других видов, однако в случае малых диссипативных сил закон сохранения полной энергии можно трактовать как закон сохранения механической энергии.

Тело поднято на высоту H и с неё начинает спускаться. Систему можно считать консервативной так как на тело действует только консервативная сила тяжести. Запишем закон сохранения энергии для данной системы.

П+Т=0

где: Т – полное изменение кинетической энергии тела при движении тела из положения 1 в положение 2.

П =П2-П1

Т =Т2-Т1

Прежде чем описать движение тела выбираем нулевой уровень потенциальной энергии, тоесть тот уровень где потенциальная энергия равна нулю.

П =0-mgh

Т =mV²/2

-mgh+ mV²/2= mV2²/2=-mgh

Для определения скорости в точке X можно воспользоваться графическим методом. Потенциальная энергия системы будет изменяться по линейному закону. Определяем по графику точку X0, кинетическую энергию в этой точке можно определить как: Т(X0)=Е-П(X0)