- •§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными
- •§ 2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными
- •§ 3. Матрицы и определители
- •§ 4. Определители произвольного порядка
- •§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •§6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •§7. Векторы и линейные операции над ними
- •§8. Умножение векторов
- •§9. Комплексные числа
- •§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости.
- •§12. Кривые второго порядка
- •§13. Уравнение плоскости
- •§ 14. Прямая в пространстве.
- •§15. Поверхности второго порядка.
- •§16. Преобразование декартовых координат.
- •§17. Полярная система координат.
- •Расчётно-графическая работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
- •Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.
- •Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными………………….3
§9. Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение
(9.1),
где и - действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством
или (9.2).
Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают ; - мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают . Если , то число называют чисто мнимым, если , то число , есть действительное число.
Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.
Два комплексных числа и считаются равными, если и . Комплексное число , если и . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора , начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .
.
Угол между осью и вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .
Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого , где - целое число. Главное значение аргумента числа - значение аргумента, удовлетворяющее неравенству . Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через : .
Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.
Суммой комплексных чисел и называется комплексное число
(9.3).
Разностью комплексных чисел и называется комплексное число
(9.4).
Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .
Произведение двух комплексных чисел и , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:
(9.5).
Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число
(9.6).
Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:
(9.7).
Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси . Рис. 8.
Рис. 8.
Из Рис.8 следует, что:
.
Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим
(9.8).
Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа , где .
Пусть даны два комплексных числа и . Записанные в тригонометрической форме:
.
Тогда .
(9.9).
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Если - целое положительное число, то из (9.9) следует:
(9.10).
Корнем -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число , -я степень которого равна , т.е. .
Корень -й степени из обозначается .
Если , то равен:
(9.11).
Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корней -й степени из .
Пример 12. Дано комплексное число .
Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .
Решение. Запишем число в алгебраической форме:
.
Найдем : .
Вычислим . Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:
.
Вычислим :
при
при
при
Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа , согласно которой
.
Пусть и , тогда:
.