4.9. Статическая задача распределения ресурсов

К статическим задачам распределения ресурсов относится задача одноразового распределения ограниченных ресурсов X (капиталовложений, сырья, оборудования, фондов и т.п.) между несколькими объектами i = 1, 2, ..., n (отраслями, объединениями, предприятиями, технологическими процессами и т.д.). Эффективность использования ресурсов по объектам различна и для каждого объекта зависит только от объема выделенных ресурсов . Необходимо так распределить ресурсы между объектами, чтобы суммарная эффективность их использования была максимальной.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

(81)

(82)

Подобные задачи могут быть решены при линейной целевой функции и линейных ограничениях. Некоторые задачи распределения ресурсов (например, при аналитическом задании непрерывных целевых функций) могут быть решены методами нелинейного программирования. Динамическое программирование позволяет решать статические задачи распределения ресурсов практически для любого класса целевых функций, в том числе и для целочисленных, разрывных и недифференцируемых.

Покажем решение данной задачи в общем виде.

При решении статической задачи распределения ресурсов методом динамического программирования за этап (шаг) принимается выделение ресурсов дополнительно одному объекту.

Решение задачи начинается с одного объекта. При этом находят условно-оптимальное управление и значение критерия при выделении определенного количества ресурсов этому объекту.

Обозначим значение критерия (условно-оптимального выигрыша) при распределении X ресурсов по k объектам

Тогда на первом этапе решения задачи получим

(83)

На втором этапе определяем условно-оптимальное распределение ресурсов при их выделении на два объекта. При этом при общем количестве ресурсов X второму объекту выделяется х₂, а первому, следовательно, (X - x₂). Тогда

(84)

Значения критерия W₂(X) зависят только от одной переменной X (величина X характеризует состояние системы, ее значение принимается постоянным или задается вариантами). Поэтому можно отыскать оптимум W₂(X) в интервале (0, X), причем этот оптимум определит условно-оптимальное управление (x₁, х₂) и условно-оптимальный выигрыш на втором этапе

(85)

Рассуждая аналогично, получаем основное функциональное уравнение динамического программирования для данной задачи

(86)

Используя основное функциональное уравнение, постепенно находим условно-оптимальные значения x_k вплоть до подключения всех объектов (k = 1, 2, . . ., n).

Соответствующее значение х_п, максимизирующее W_n(X), дает безусловно оптимальное управление. Далее, возвращаясь к (n-1)-му этапу и зная x_n, определяем оптимальное значение х_n-₁ и постепенно, дойдя до первого этапа, находим совокупность дающую максимальный эффект от распределения X ресурсов (max W_n).