4.4 Пространственное распределение потенциала и напряжённости электрического поля

4.4.1. Распределение потенциалов

Принимая во внимание, что потенциалы внутри и на поверхности проводов (заданных проводящих цилиндров) остаются постоянными и равными найденным значениям , а вне проводов потенциал определяется по (3), получим:

а) Внутри и на поверхности первого цилиндра

б) Внутри и на поверхности второго цилиндра

в) Вне цилиндров

-при заданных значениях линейной плотности зарядов τ (по 3):

(36)

-при заданном напряжении между цилиндрами:

в этом случае имеем по (31):

Подстановка в (36) даёт:

		(37)

где

4.4.2. Распределение напряжённости электрического поля

Учитывая, что напряжённость электрического поля внутри проводов равно нулю, а вне и на поверхности проводов определяется уравнениями (5), (7) и (8), то получим:

а) внутри цилиндров (первого и второго)

=0

б) вне цилиндров

- при заданных значениях линейной плотности зарядов τ (по 5, 7 и 8):

- при заданном напряжении между цилиндрами, получим (учитывая, что

		(38)

4.5 Построение графиков

Пользуясь записанными в 4.4 выражениями пространственных распределений потенциала, получим при y=0 следующее обобщённое выражение:

Так как Е_y(x,0) = 0, то Е(x,0) = Е_х(x,0). Поэтому получим:

Графики представлены на рисунке 8

Примечание: При построении графиков найдите необходимые значения. Укажите размерности физических величин, откладываемые по осям и масштаб.

4.6 Характеристики поля в точках м1 и м2

Для расчёта характеристик поля в точках М₁ и М₂ нужно сначала определить координаты этих точек в расчётной системе координат.

Пользуясь рисунком 1_а нетрудно установить, что:

Расстояния этих точек от электрических осей будут равны:

Следовательно,

Объёмная плотность энергии электрического поля равна:

Получим:

Примечание: произведите все указанные вычисления.

4.7 Максимальные значения векторов е и d.

Так как , то очевидно, что максимальное значение напряжённости электрического поля будет в той же точке, где знаменатель принимает минимальное значение. Нетрудно показать, что наименьшее значение такое произведение примет в точке А₂ (рис. 1а), принадлежащей цилиндру меньшего радиуса. Это утверждение, в частности следует непосредственно из картины поля (рис.7), так как плотность силовых линий вектора Е является наибольшей в точке А₂. В этой точке имеем:

Следовательно,

.

В соответствии с граничными условиями на поверхности проводника и диэлектрика имеем следующую максимальную поверхностную плотность заряда.

Кл/м².

4.8 Распределение поверхностных зарядов по периметру цилиндра меньшего радиуса

В точках на поверхности провода (цилиндра) кругового сечения, являющейся поверхностью равного потенциала, линии вектора Е нормальны к этой поверхности и, следовательно вектор Е имеет на этой поверхности только радиальную составляющую, т.е. Е=Е_r. Поэтому, для определения значений Е в точках на поверхности провода удобнее перейти к цилиндрической системе координат, совмещая ось OZ с осью рассматриваемого цилиндра, радиусом R₁ (рис. 9).

Учитывая, что

Получим:

тогда произведение r₁· r₂ будет равно:

Так как ,а , то

Так как , то получим:

Следовательно, на поверхности первого провода будем иметь:

Итак,

(39)

Из полученного выражения, в частности, следует, что наибольшее значение будет при , когда . В этом случае получим:

что совпадает с результатом ,полученным в предыдущем разделе.

Искомая поверхностная плотность зарядов будет равна:

(40)

Подставляя в (40) численные значения ε₀, b, U₀, R₁ и h₁, получим искомую зависимость σ(α), которое будет иметь вид, представленный на рисунке 10.

Примечание: при выполнении задания график построить в масштабе для своих численных значений.

Рисунок 10

4.9 Поток вектора сквозь поверхность S , ограниченную четвертью периметра сечения провода меньшего радиуса (между точками А₁ и А₂) на длине ℓ₀=100 м.

В точках на поверхности цилиндра меньшего радиуса мы получили, что

Следовательно, искомый поток будет равен (рис.6):

где

Так как , то получим:

Следовательно,

Итак

(41)

Примечание: При выполнении задания нужно вычислить , используя свои численные значения.

…Если учесть, что, то

Если рассматривать, что, то

Где q_ℓ- заряд на длине ℓ₀: q_ℓ= ℓ₀∙τ.

Для уединённого провода h₁→∞ (или при R₁<<h₁, когда смещением электрических осей можно пренебречь), получим:

тогда

т.е. это есть поток через ¼ замкнутой поверхности вокруг рассматриваемого цилиндра.