- •Лекция 1 знакомство с mathcad. Основы работы
- •1 Знакомство с MathCad
- •2 Интерфейс пользователя
- •3 Панель инструментов Math
- •4 Операторы численного и символьного ввода
- •5 Переменные и операторы присваивания
- •6 Функции пользователя
- •7 Ввод текста
- •8 Символьные вычисления
- •8.1 Способы символьных вычислений.
- •8.2 Упрощение выражений
- •8.3 Разложение выражений
- •8.4 Разложение на множители
- •8.5 Приведение подобных слагаемых
- •8.6 Коэффициенты полинома
- •8.7 Ряды и произведения
- •8.8 Разложение на элементарные дроби
- •8.9 Подстановка переменной
- •8.10 Дифференцирование
- •8.11 Интегрирование
- •8.12 Разложение в ряд
- •8.13 Решение уравнений
- •8.14 Применение функций пользователя
- •8.15 Получение численного значения выражения
- •Лекция 2 алгебраические уравнения
- •1 Одно уравнение с одним неизвестным
- •2 Корни полинома: функция polyroots
- •3 Решение систем уравнений: вычислительный блок Given/Find
- •Оптимизация
- •1 Экстремум функции одной переменной
- •2 Условный экстремум функции одной переменной
- •3 Экстремум функции многих переменных
- •Лекция 3 Линейная алгебра
- •1 Транспонирование
- •2 Сложение
- •3 Умножение
- •4 Определитель квадратной матрицы
- •5 Модуль вектора
- •6 Скалярное произведение векторов
- •7 Векторное произведение
- •8 Сумма элементов вектора и след матрицы
- •9 Обращение квадратной матрицы
- •10 Возведение матрицы в степень
- •11 Символьные преобразования
- •12 Генераторы матриц
- •13 Выделение части матрицы
- •14 Слияние матриц
- •15 Размер матрицы
- •16 Сортировка матриц
- •17 Системы линейных алгебраических уравнений
- •Лекция 4 графика в mathcad
- •1 Двумерные графики
- •2 Трехмерные графики
Лекция 2 алгебраические уравнения
1 Одно уравнение с одним неизвестным
Для решения алгебраических уравнений с одним неизвестным в MathCAD предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней:
-
root(f(x), x) – находит корень, расположенный в окрестности заданного числа x;
-
root(f(x), x, a, b) – находит корень в отрезке [a, b], где
f(x) – скалярная функция, определяющая уравнение f(x)=0;
x – имя скалярной переменной, относительно которой решается уравнение;
a, b – границы интервала внутри которого происходит поиск корня.
Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения переменной x, для чего нужно просто перед применением функции root присвоить x некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа.
Задание: Решить алгебраическое уравнение с одним неизвестным sin(x)=0.
Решение:
Результат: Хотя уравнение имеет бесконечное количество корней =n·π (n=0,±1,±2,…) , MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, лежащий наиболее близко к x=0.5. Если задать другое начальное значение, например, x=3, то решением будет другой корень x=π и т. д. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация.
Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [a, b] , внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение x не нужно.
Решение:
Явный вид функции f(x), как вы уже заметили, может быть определен в теле функции root.
Когда функция root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:
-
внутри интервала не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, причем, заранее неизвестно, какой именно;
-
значения f(a) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.
f(x) может быть функцией не только x, а любого количества аргументов. Именно поэтому в самой функции root следует определить, относительно какого из аргументов следует решить уравнение.
2 Корни полинома: функция polyroots
Если функция f(x) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.
Поскольку полином n–ной степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. В основе встроенной функции polyroots лежат специальные численные алгоритмы, а результатом ее действия является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое–либо начальное приближение, как для функции root.
Задание: Найти корни полинома .
Решение:
Коэффициенты рассмотренного выше полинома записаны в векторе v. Первым в векторе должен идти свободный член полинома, вторым – коэффициент при x и т. д. Соответственно, последним, n+1–ым элементом должен быть коэффициент при старшей степени.
Иногда исходный полином имеется не в развернутом виде, а, например, как произведение нескольких полиномов. В этом случае определить все его коэффициенты можно, выделив его и выбрав в меню Symbolic (Символика) пункт Expand (Разложить). В результате символьный процессор MathCAD сам преобразует полином в нужную форму; пользователю надо будет только корректно ввести ее в аргументы функции polyroots.