- •Часть I. Аналитическая геометрия глава 1. Элементы векторной алгебры
- •§ 1. Векторы и линейные операции над ними
- •Понятие вектора
- •Сложение векторов
- •Свойства операции сложения
- •Умножение вектора на число
- •Свойства операции умножения вектора на число
- •Критерии коллинеарности и компланарности
- •§ 2. Аффинная система координат
- •Свойства координат векторов
- •Ориентация тройки векторов
- •Свойства ориентации
- •§ 3. Проекции
- •§ 4. Преобразования систем координат на плоскости
- •§ 5. Скалярное произведение
- •Свойства скалярного произведения
- •Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§6. Векторное произведение о пределение векторного произведения.
- •Свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •§7.Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе
- •Доказательство свойств векторного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
§ 2. Аффинная система координат
Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.
Теорема. Если на прямой задан базис , то для любого вектора на этой прямой существует число , такое, что .
Доказательство вытекает из теоремы 1 §1.
Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов, принадлежащих этой плоскости.
Теорема. Если на плоскости задан базис , то для любого вектора на этой плоскости существует упорядоченная пара чисел , такая, что .
Доказательство вытекает из теоремы 2 §1.
Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Теорема. Если в пространстве задан базис
, (1)
то для любого вектора существует упорядоченная тройка чисел такая, что
. (2)
Р авенство (2) называется разложением вектора по базису (1), а коэффициенты разложения – координатами вектора в базисе (1).
►Выберем в пространстве некоторую точку О и отложим все векторы от этой точки. Обозначим плоскость, проходящую через точку О параллельно векторам и . Через конец вектора (точку М) проведем прямую, параллельную вектору , а точку пересечения ее с плоскостью обозначим (рис. 1.14). Тогда
, (3)
– компланарны, и – неколлинеарны} [Т-2 §1]
, (4)
{} [Т-1 §1] . (5)
Теперь равенство (2) вытекает из (3), (4), и (5).◄
Свойства координат векторов
-
Координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.
-
Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
-
При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
-
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
-
Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых.
Эти свойства кажутся вам естественными, а докажем мы их позже.
Из 4-го свойства на основании теоремы 1 §1 получаем еще один критерий коллинеарности: для коллинеарности векторов и необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональными, т.е., чтобы существовало число такое, что . Если все координаты ненулевые, то условие их пропорциональности можно записать и так: .
Системой координат называется совокупность точки О, которая называется началом координат, и базиса.
Е сли в пространстве задана система координат , то каждой точке можно поставить в соответствие вектор , который называется радиус-вектором этой точки.
Координатами точки в выбранной системе координат называются координаты её радиус-вектора в соответствующем базисе.
Пусть при откладывании некоторого вектора от точки получается точка (рис. 1.15). Тогда вектор обозначается , а операция откладывания вектора от точки записывается следующим равенством:
Error: Reference source not found. (6)
Так как
(7)
и т.к. координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то из (6) и (7) получается правило: чтобы найти координаты конца вектора следует к координатам вектора прибавить соответствующие координаты его начала. Равенство (7) также равносильно равенству , из которого получаем: чтобы найти координаты вектора, следует из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.
Введенная система координат называется аффинной. Если базисные векторы попарно ортогональны, а длины их равны единице, то базис называется ортонормированным, а система координат – прямоугольной декартовой.